Projection orthogonale et distance

Nous pouvons utiliser la formule décrite dans l'activité Description d'une projection orthogonale. Pour cela, il nous suffit de trouver une base orthonormée de la droite d'équation \(x=y=z\). Cette droite est dirigée par le vecteur \((1, 1, 1)\), une base orthonormée est donc donnée par le vecteur \(\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\). Le produit scalaire de ce vecteur avec le vecteur \((1, 0, 0)\) donne \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). Ainsi, d'après la formule vue précédemment, la projection du vecteur \((1, 0, 0)\) sur la droite considérée vaut \(\frac{1}{\sqrt3}(1, 1, 1)\). Il suffit ensuite de calculer \(\|v-p(v)\|\).