Projection orthogonale et distance

Supposons que pour tout \(v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\) de \(E\), on a \(p(v) = \sum_{i=1}^m \langle v, e_i \rangle e_i\). Montrons que \(p\) est une projection orthogonale. Comme la base \((e_i)_{1\leq i \leq n}\) est orthonormée, nous avons \(\mathrm{im} (p) = \mathrm{Vect}(e_1, \dots , e_m)\) d'une part et \(\ker (p) = Vect(e_{m+1}, \dots , e_n)\) d'autre part. À nouveau puisque la base \((e_i)_{1\leq i \leq n}\) est orthonormée, nous en déduisons \(\mathrm{im} (p) = (\ker p)^\perp\). Finalement \(p\) est une projection orthogonale.