Exercice : Je projette sur... (4)

Nous travaillons dans \(\mathbb{R}^3\) muni de son produit scalaire standard. Nous considérons la projection orthogonale définie par \(p(x,y,z) = \left(\frac{x-y}{2}, \frac{y-x}{2}, 0\right)\).

Question

Trouver le sous-espace sur lequel cette projection orthogonale se projette.

Indice

Il suffit de calculer l'image de la projection. Il est par exemple possible de calculer les images de \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) et \((0, 0, 1)\) par \(p\).

Solution

La projection orthogonale considérée se projette sur la droite \(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\ |\ x+y = 0 = z\} \subset \mathbb{R}^3\).