Le séminaire Quid est l’occasion pour les doctorants de l’équipe Picard d’exposer brièvement leurs sujets de recherche ou même simplement les domaines dans lesquels ils travaillent, les outils qu’ils utilisent… L’objectif est de présenter les thématiques des uns et des autres et de développer les échanges scientifiques entre doctorants. Il est également ouvert aux étudiants de M2R intéressés par les mathématiques fondamentales.

Horaires et lieu : environ deux lundis par mois, de 14h à 15h, en salle Picard (1R2).

Exposés 2019 - 2020

• Julien Esnay (28/11/19) : Trier les groupes de type fini avec des pavages
  Supposons qu’on vous donne un groupe engendré par un nombre fini d’éléments. Nous verrons ensemble que vous pouvez le visualiser sous forme de graphe : c’est son graphe de Cayley. Dans un premier temps, on peut en étudier les exemples les plus connus : la ligne et la grille à coordonnées entières, représentations de Z et Z². On vous demande maintenant de colorier les sommets d’un tel graphe, c’est-à-dire les éléments de ce groupe, en respectant certaines règles d’adjacence de couleurs. Si l’on vous donne à l’avance les couleurs que vous avez le droit d’utiliser et les règles à respecter, saurez-vous comment vous y prendre pour colorier le groupe ? Et pour le colorier de façon périodique ? Nous nous concentrerons d’abord sur les cas assez connus de Z et Z², et nous nous intéresserons à la différence entre leurs comportements. Puis, si nous avons le temps, nous essayerons d’appliquer cela à d’autres groupes. Vous découvrirez que même pour des groupes très simples, ce ne sont pas des questions faciles...
  
  
• Sara Mehidi (07/11/19) : Torseurs et théorème de pureté
  Dans cet exposé, nous allons définir la notion de torseur. Ce dernier n’est ni un instrument de torture du moyen-âge ou d’un autre temps, ni encore moins un objet lié aux sciences industrielles ou à la mécanique du point. Pour Y un schéma et G un schéma en groupe sur Y, un G-torseur X sur Y est la donnée d’un schéma X sur Y et d’un schéma en groupe G agissant sur X de sorte que localement, l’action est triviale. Mais avant de parler des torseurs, nous introduisons quelques objets essentiels à notre définition. Nous terminons par une question fondamentale sur les torseurs, à savoir, le théorème de pureté : pour un schéma régulier S et U un ouvert dense de S, dans quels cas peut-on prolonger un torseur défini sur U à tout S ?
  
  
• Massimo Pippi (24/10/19) : Les dg-catégories des singularités relatives
  Il est possible d’étudier les singularités d’un schéma Z (dérivé, éventuellement co-connectif) par des méthodes de géométrie non-commutative. On considère la dg-catégorie de singularités Sing(Z)=Coh^b/Perf(Z). Dans le cas classique (i.e. Z discret), cet objet est trivial si et seulement si le schéma est régulier. On se donne un schéma X et un morphisme f:X→A^n et on considère le lieu (dérivé) des zéros de f X_0. L’inclusion X_0→X induit un dg-foncteur Sing(X_0)→Sing(X). La dg-catégorie des singularités relatives est définie comme la fibre de ce dg-foncteur. Elle est reliée à des dg-catégories de factorisations matricielles. Cela nous permet de mieux comprendre des propriétés de périodicité de cette dg-catégorie. D'autre part, en utilisant les motifs non-commutatifs définis par M. Robalo, il est possible de définir une cohomologie l-adique des espaces non-commutative (cette construction est due à A. Blanc, M. Robalo, B. Toen et G. Vezzosi). Si n=1 et X est régulier, la cohomologie l-adique de Sing(X,f) est reliée au formalisme des faisceaux évanescents. Si il nous reste assez de temps, je chercherai à expliquer ce à quoi on s’attend dans le cas n>1.
  
  

Exposés 2018 - 2019

• Sonny Willetts (18/02/19) : Balade sur un sentier des invariants quantiques
  Au programme de cette promenade, nous verrons, en premier lieu, une recette pour produire des invariants de nœuds à partir d’ingrédients algébriques - les algèbres de Hopf enrubannées. Puis l’on voyagera entre le monde des nœuds et celui des 3-variétés, grâce à la chirurgie dans un sens et les mouvements de Kirby dans l’autre. On verra alors comment essayer de faire passer notre invariant algébrique de nœuds à un invariant de 3-variétés (compactes, sans bord et orientées).
  
  
• Jade Nardi (28/01/19) : Codes correcteurs, pour le meilleur et pour le PIR
  Tout le monde a déjà entendu parler de codes correcteurs... Non, je plaisante ! En revanche, quiconque faisant des mathématiques un peu "abstraites" s'est déjà retrouvé confronté à la question "Mais à quoi ça sert ?!".
  Dans cet exposé, je vais vous présenter les merveilleux outils que sont les codes correcteurs d’erreurs et notamment (parce qu’on est entre gens cultivés), les codes correcteurs géométriques. Le but premier des codes correcteurs d'erreurs est de permettre, comme leur nom laisse suggérer, de corriger les éventuelles erreurs lors de la transmission d'un message via un canal bruité. Dans un premier temps, cela ne nécessite que de l’algèbre linéaire. Pour corser un peu, on rajoute des polynômes. Puis on utilise des outils de géométrie algébrique : variétés, diviseurs, Anneau de Chow…
  Après vous avoir présenté ces codes, leurs utilités et leurs propriétés, je vous propose une application au protocole de Privative Information Retrievial (PIR pour les intimes) qui résout le problème suivant : comment accéder à des données stockées sur des serveurs (type GAFAM) sans que les serveurs puissent savoir l’information que je veux ?
  Ça, c’est ce qu’on appelle une application concrète qui s’applique à la « vraie » vie.
  
  
• Dominique Mattei (14/01/19) : C'est quoi l'entropie catégorique ?
  Tout le monde a déjà entendu parler d'entropie. Il existe de nombreuses définitions de cette notion dans de multiples domaines des mathématiques et de la physique. En particulier, l'entropie topologique est un concept puissant dans l'étude des systèmes dynamiques. Récemment, une nouvelle définition d'entropie a vu le jour dans un contexte catégorique - l'entropie d'un endofoncteur d'une catégorie triangulée - donnant lieu a plusieurs conjectures. Mais pour comprendre cette nouvelle notion, nous parlerons d'abord des catégories dérivées de variétés algébriques lisses, et plus particulièrement de leurs autoéquivalences.
  
  
• Dimitri Le Meur (03/12/18) : Au fait, c'est quoi une variété ?
  Tous dans l'équipe Picard connaissent la notion de variété. Néanmoins, les aspects de sa définition formelle masquent un certain nombre de difficultés. Un obstacle de taille est que dans la définition est totalement masqué comment les ouverts se recoupent (i.e la nature topologique de leurs intersections multiples, et de comment les ouverts et leurs intersections s'articulent les uns par rapport aux autres) ; ceci s'oppose à la matérialisation effective des variétés, et donc à leur compréhension et à leur classification. On parlera ici de la classification des variétés topologiques. En dimension 1, on démontre que les deux variétés (connexes) possibles sont la droite et le cercle. En dimension 2, on montre que les surfaces sont triangulables, et on en déduit que l'on peut classifier les surfaces compactes (en fait, cela permet même de classifier totalement les surfaces, mais on ne le démontrera pas). A partir de la dimension 4, on peut exploiter la complexité des groupes fondamentaux des variétés pour montrer qu'il devient impossible de les classifier, en donnant un sens précis à ce que l'on entend par là (donc on aura démontré qu'il est impossible de savoir ce qu'est une variété, ce qui contredit le titre de l'exposé ! ...). On parlera peut-être, dans un autre exposé du flot de Ricci pour la dimension 3. Mais ce dernier point est un peu plus compliqué, donc ce sera impossible d'en parler en détail (de toutes façons, avec 3 ans de travail à temps plein ce ne serait pas sûr qu'on y arrive).
  
  
• Elena Dimitriadis Bermejo (19/11/18) : Au-delà des catégories usuelles
  À un moment ou un autre, tout membre de l’équipe Picard entend parler de cette chose merveilleuse que sont Les Catégories. Peut-être travaillez-vous avec tous les jours, peut-être avez-vous juste entendu le nom dans la salle café lors d’une discussion. Mais savez-vous qu’on peut aller plus loin, faire (encore !) plus compliqué ? Dans cet exposé, je vous parlerai des catégories enrichies, via les exemples des catégories infinies et des dg-catégories.