Pente
Dans l'applet suivant, nous illustrons la méthode graphique pour une fonction particulière.
Notons que les point fixes de f correspondent à l'intersection du graphe de f et de la diagonale principale.
Les fonctions suffisamment régulières ont la propriété suivante : plus on zoome sur leur graphe, plus celui-ci ressemble à une droite (appelée droite tangente)
Si on zoome sur un point fixe et si la pente 'a' de la droite n'est égale ni à 1, ni à -1, les dynamiques de la fonction f et de son approximation a·x+b sont très semblables.
Dans l'applet suivant, nous illustrons la dynamique des fonctions linéaire : x ↦ a·x.
On peut constater les phénomènes suivants :
- pour une pente positive, x reste toujours du même côté de 0
- pour une pente négative, x alterne autour de 0
- si la pente a est strictement comprise entre -1 et 1, alors 0 est un point attractif ; il l'est d'autant plus que a est proche de 0
- si la pente est strictement supérieure à 1 ou strictement inférieure à 1, alors le point 0 est répulsif
- les cas particuliers a=1 et a=-1 sont périodiques, de période respectivement 1 et 2
La dynamique de la droite tangente ressemble à la dynamique de l'application près du point fixe, sauf dans le dernier cas (celui où a=1 ou -1). Dans ce cas, appelé parabolique, plusieurs phénomènes peuvent arriver, cela dépend de la fonction en jeu. Pour le cas particulier des fonctions du type fp où f : x ↦ a·x·(1−x), on peut démontrer que quand le point est parabolique, alors soit il attire tous les points suffisamment proches et situés à droite de lui-même et repousse tous les points suffisamment proches et à gauche, soit le contraire, soit il attire tous les points suffisamment proches.
Revenons au premier applet : pour cette fonction, les trois points fixes sont respectivement attractif, répulsif, répulsif. Les deux premiers correspondent à une pente positive, et négative pour le troisième. On remarque que f possède également un cycle attractif de période 2, qui ne se voyait pas a priori.