Ce cours est une initiation. Je ne suis moi-même pas vraiment un spécialiste de géométrie algébrique, vous pouvez prendre ça comme une garantie que le cours ne vous perdra pas dans des stratosphères incompréhensibles. En particulier, il n'est pas nécessaire d'avoir suivi le cours de M1. Si malgré tout vous avez suivi le cours de M1, ce cours sera sans doute moins une suite qu'un complément. Au contraire, si vous aviez raté le cours de M1, c'est votre dernière chance d'avoir un cours d'introduction, après, il vous restera à lire Hartshorne [H] tout seul !

La géométrie algébrique c'est tout simple : c'est étudier le lieu des zéros communs de (une ou) plusieurs équation(s) polynomiale(s). Ainsi les exemples basiques de surfaces s'obtiennent en prenant le lieu des zéros  P(x,y,z) = 0  d'un polynôme à 3 variables. La vie est plus simple sur un corps algébriquement clos de caractéristiques 0, nous prendrons donc  P à coefficient dans C (c'est le complexe du titre, qui est en fait une simplification !). Par ailleurs, il est plus facile de travailler avec des objets compacts, et donc de ``rajouter des points à l'infini'' (c'est le mot projectives du titre), le premier cours commencera donc par rappeler les notions d'espaces projectif et coordonnées homogènes...

Mon parti pris est d'essayer de focaliser sur les exemples; les 4 premiers cours introduiront des techniques fondamentales (notions de diviseur en particulier) mais il y aura malgré tout tout de suite des exemples. Par ailleurs, je prends le parti d'éviter les techniques cohomologiques (cf les 2 pages de préfaces de [Ha]).

Le cours concernera principalement les surfaces, mais comme je ne suppose pas que vous ayiez déjà étudié les courbes, nous étudierons aussi au passage ces dernières (en fait l'idée de base pour étudier une surface est de comprendre les courbes qu'elle contient).

En guise d'accroche publicitaire, voici un aperçu de ce que nous verrons pendant ce cours :

• La théorie des surfaces comporte tout un bestiaire aux noms étranges : surfaces d'Enriques, surfaces K3, surfaces elliptiques, surfaces de Del Pezzo, surfaces rationnelles, surfaces réglées, surfaces de type général, surfaces bielliptiques, surfaces abéliennes... A la fin, vous saurez ce qui se cache derrière chaque nom, et vous saurez construire (au moins) un exemple dans chaque catégorie. Et vous saurez aussi pourquoi les K3 s'appellent des K3 !
• Le groupe de Cremona correspond au groupe des applications rationnelles (quotient de polynômes) de  C² dans C² admettant un inverse rationnel... Nous étudierons ce groupe à grand renfort d'éclatements (je ne blague pas : blowup se traduit par éclatement) et nous verrons que ce groupe d'apparence anodine contient un groupe libre sur un continuum de générateurs !
• Peut-être avez vous déjà croisé les diagrammes de Dynkin  E₆, E₇ et E₈ au détours d'un livre sur les algèbres de Lie ? Nous verrons comment ces diagrammes interviennent dans la description des surfaces elliptiques et en particulier de leur fibres singulières...
• Les surfaces de type général sont un grand fourre-tout, dans lequel les théorèmes généraux sont en général difficiles à établir. Il y a cependant un joli résultat qui est accessible : nous verrons qu'une surface de type général n'a toujours qu'un nombre fini d'automorphismes (à mettre en contraste avec le plan projectif qui en a tout un tas).

Pour finir, un peu de bibliographie commentée. Mon livre de référence pour les faits de base en géométrie algébrique sera [S], il y a aussi [Ha] que j'aime beaucoup (beaucoup d'exemples, peu de technologie...). Si vous avez l'envie (et le temps !) de lire un peu avant le début du cours, les 20 premières pages de [S] sont excellentes; il y a aussi le livre de Reid [R1] qui est très accessible. Concernant plus spécifiquement les surfaces, le livre de Beauville [B] est très bien, mais il ne faut pas se laisser bloquer par les 2 premiers chapitres. Sur le web, on peut trouver des notes d'un cours de Vakil [V] de niveau master, et des notes de Reid [R], de niveau plus élevé mais écrites dans un style enthousiasmant. Le livre de Barth-Peters-Van de Ven [BPV] concerne plus généralement les surfaces complexes compactes (pas forcément algébriques), je vais m'en servir en particulier pour ce qui concerne les surfaces elliptiques.

Références :

[B] Beauville, surfaces algébriques complexes, Astérisque 54.

[BPV] Barth, Peters et Van de Ven, Compact complex surfaces, Springer.

[H] Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.

[Ha] Harris, Algebraic Geometry, a first course, Springer.

[R1] Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London Lecture Notes.

[R] Reid, Chapter on surfaces, in Complex algebraic varieties, J. Kollár (Ed.), disponible sur le web :

http://www.maths.warwick.ac.uk/ miles/surf/ParkC

[S] Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, volume 1.

[V] Vakil, notes de cours disponibles sur

http://math.stanford.edu/ vakil/02-245/index.html