\input amstex
\documentstyle{amsppt}
\NoBlackBoxes

\input epsf

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\topmatter
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\title
		Mouvements de Markov pour des tresses quasipositives
\endtitle
%-----
\author
                S.Yu.~Orevkov
\endauthor
%-----
\abstract\nofrills{\bf R\'esum\'e.}
                Soit $B_m=\langle\sigma_1,\dots,\sigma_m\,|\,
		\sigma_j\sigma_{j+1}\sigma_j
		=\sigma_{j+1}\sigma_j\sigma_{j+1}$,
		$[\sigma_j,\sigma_k]=1$ pour $|k-j|>1\rangle$ le
		groupe des tresses.
                Une tresse $b$ est dite {\it quasipositive} si  
		$b=(a_1\sigma_1a_1^{-1})\dots(a_k\sigma_1a_k^{-1})$.
		En utilisant la th\'eorie des courbes pseudo-holomorphes
		de Gromov, on montre que
		{\it $b\in B_m$ est quasipositive si et seulement si
		$b\sigma_m\in B_{m+1}$ est quasipositive.}
\endabstract

\endtopmatter

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\document

\def\Z {\bold Z }
\def\Q {\bold Q }
\def\C {\bold C }
\def\CP{\bold{CP}}
\def\R {\bold R }
\def\P {\bold P }
\def\RP{\bold{RP}}
\def\L {{\Cal L}}
\def\d {\partial}
\def\<{\langle}
\def\>{\rangle}
\def\U{\sqcup }
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Arg{\operatorname{Arg}}
\def\conv{\operatorname{conv}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\ph {\varphi}

\def\refBurckel    {1}
\def\refGromov     {2}
\def\refLaver      {3}
%\def\refOrevkovQPP {4}
\def\refOrevkovTop {4}
\def\refRudolph    {5}
\def\refWiest      {6}



\def\figCorner      {1}
\def\figDRT         {2}

\def\figBraid       {3}

\def\figCpZ         {4}
\def\figImageT      {5}

\def\figNewBraid    {6}
\def\figBifur       {7}


\head Version abr\'eg\'e fran\c caise
\endhead

Soit $B_m$ le groupe des tresses \`a $m$ brins ($m$-tresses).
Il est d\'e\-fi\-ni par les g\'e\-n\'e\-ra\-teurs
$\sigma_1,\dots,\sigma_{m-1}$ et r\'elations
$[\sigma_j,\sigma_k]=1$ pour $|k-j|>1$ et 
$\sigma_j\sigma_k\sigma_j=\sigma_k\sigma_j\sigma_k$ pour $|k-j|=1$.
Une tresse $b$ est dite {\it quasipositive} (voir \cite{\refRudolph})
si $b=\prod_{j=1}^k a_j\sigma_1 a_j^{-1}$ o\`u les $a_j\in B_m$.

On dit, que $b'\in B_{m+1}$ est ob\-te\-nue \`a partir de $b\in B_m$ par 
{\it un mouvement de Markov}, si $b'=b\sigma_m^{\eps}$ o\'u $\eps=\pm1$
(on identifie ici $B_m$ avec le sous-groupe de $B_{m+1}$ 
en\-gendr\'e par $\sigma_1,\dots,\sigma_{m-1}$).
On dit, que le mouvement de Markov est {\it positif} si
$\eps=1$ et {\it n\'egatif} sinon.
Il est clair d'apr\`es les d\'efinitions 
qu'une tresse est quasipositive lorsqu'elle est obtenue \`a partir
d'une tresse quasipositive par un mouvement de Markov positif.
Dans cet article, on d\'e\-montre la r\'e\-ci\-proque.


\proclaim{ Th\'eor\`eme 1 } Soit $b'\in B_{m+1}$ obtenue 
\`a partir de $b$ par
un mouvement de Markov positif. Si $b'$ est quasipositive,
alors $b$ est quasipositive aussi.
\endproclaim

La preuve n'est pas constructive. 
Elle est bas\'ee sur la th\'eorie des courbes 
pseudo-holomorphes de Gromov, et nous ne connaissons pas d'al\-go\-rithme 
pour trouver une pr\'e\-sen\-ta\-tion quasipositive de $b$ \`a 
partir d'une pr\'e\-sen\-ta\-tion quasipositive de $b'$.


Le Th\'eor\`eme 1 peut \^etre appliqu\'e \`a l'\'etude de la topologie
des courbes al\-g\'e\-briques r\'eelles planaires, 
car la r\'ealisabilit\'e
d'un arrangement d'ovales d'une courbe al\-g\'e\-brique de degr\'e
donn\'e implique 
la quasipositivit\'e qu'une certaine tresse
(voir \cite{\refOrevkovTop}).

L'id\'ee de la preuve est aussi issue de la topologie
des courbes al\-g\'e\-briques r\'eelles.
Elle r\'e\-sulte de l'ob\-ser\-va\-tion suivante.
Soit $C\subset\RP^2$ une courbe r\'eelle et 
$A$ un petit arc convexe de $C$,
dont l'enveloppe convexe contient un point 
$p\not\in C$ et ne contient pas
d'autres parties de la courbe. Alors, la tresse as\-so\-ci\'ee 
\`a la projection par rapport au point $p$ est obtenue par 
un mouvement de Markov positif \`a partir de la tresse as\-so\-ci\'ee 
\`a la projection par rapport \`a un point de $A$. 
La preuve du Th\'eor\`eme 1 
mo\-d\'e\-lise cette situation par les courbes pseudo-homomorphes.


\remark{ Remarque } Si $b'$ est obtenue \`a partir 
d'une tresse quelconque  
par un mouvement de Markov n\'e\-ga\-tif, alors $b'$ n'est jamais
quasipositive. C'est une con\-s\'e\-quence imm\'ediate du 
r\'e\-sul\-tat
suivant de Burckel \cite{\refBurckel} et Laver \cite{\refLaver}
(une preuve g\'eo\-m\'et\-rique a \'et\'e donn\'ee par 
Wiest \cite{\refWiest}):
%; voir aussi \cite{\refOrevkovQPP}): 
{\it Toute tresse conjugu\'ee \`a une tresse  
quasipositive est positive dans l'ordre invariant \`a droite de 
Dehornoy}.
\endremark
\smallskip

On dit qu'un entrelacs dans une 3-sph\`ere est 
{\it un entrelacs quasipositif} s'il est isotope \`a une tresse
quasipositive fer\-m\'ee.

\remark{ Question 1 }
Soit $L$ un entrelacs quasipositif et
$b$ une tresse re\-pr\'e\-sen\-tant $L$, dont le nombre des brins est 
minimal. Est ce que cela implique que $b$ est quasipositive?
\endremark

Dans le cas o\`u $b$ est une $2$-tresse, la r\'e\-ponse est affirmative;
cela est une con\-s\'e\-quence im\-m\'e\-diate du fait qu'un entrelacs 
non-slice et son image miroir ne peuvent pas \^etre 
si\-mul\-ta\-n\'e\-ment
quasipositifs (voir \cite{\refRudolph}).

\remark{ Question 2 } 
Soient $b_1$ et $b_2$ deux tresses quasipositives re\-pr\'e\-sen\-tant 
le m\^eme entrelacs. Est ce qu'il est toujours possible de passer
de $b_1$ \`a $b_2$, en utilisant uniquement des conjugaisons et des
mouvements de Markov positifs?
\endremark


\enddocument
