MOUVEMENTS DE MARKOV POUR

DES TRESSES QUASIPOSITIVES

S.Yu. Orevkov

Résumé. Soit B_{m} = ⟨σ_{1}, …, σ_{m} | σ_{j}σ_{j+1}σ_{j} = σ_{j+1}σ_{j}σ_{j+1}, [σ_{j}, σ_{k}] = 1 pour |k − j| > 1⟩ le groupe des tresses. Une tresse b est dite quasipositive si b = (a_{1}σ_{1}a_{1}^{−1}) … (a_{k}σ_{1}a_{k}^{−1}). En utilisant la théorie des courbes pseudo-holomorphes de Gromov, on montre que b ∈ B_{m} est quasipositive si et seulement si bσ_{m} ∈ B_{m+1} est quasipositive.

Version abrégé française

Soit B_{m} le groupe des tresses à m brins (m-tresses). Il est défini par les générateurs σ_{1}, …, σ_{m−1} et rélations [σ_{j}, σ_{k}] = 1 pour |k − j| > 1 et σ_{j}σ_{k}σ_{j} = σ_{k}σ_{j}σ_{k} pour |k − j| = 1. Une tresse b est dite quasipositive (voir [5]) si b = ∏_{j=1}^{k} a_{j}σ_{1}a_{j}^{−1} où les a_{j} ∈ B_{m}.

On dit, que b′ ∈ B_{m+1} est obtenue à partir de b ∈ B_{m} par un mouvement de Markov, si b′ = bσ_{m}^{ε} oú ε = ±1 (on identifie ici B_{m} avec le sous-groupe de B_{m+1} engendré par σ_{1}, …, σ_{m−1}). On dit, que le mouvement de Markov est positif si ε = 1 et négatif sinon. Il est clair d’après les définitions qu’une tresse est quasipositive lorsqu’elle est obtenue à partir d’une tresse quasipositive par un mouvement de Markov positif. Dans cet article, on démontre la réciproque.

Théorème 1. Soit b′ ∈ B_{m+1} obtenue à partir de b par un mouvement de Markov positif. Si b′ est quasipositive, alors b est quasipositive aussi.

La preuve n’est pas constructive. Elle est basée sur la théorie des courbes pseudoholomorphes de Gromov, et nous ne connaissons pas d’algorithme pour trouver une présentation quasipositive de b à partir d’une présentation quasipositive de b′.

Le Théorème 1 peut être appliqué à l’étude de la topologie des courbes algébriques réelles planaires, car la réalisabilité d’un arrangement d’ovales d’une courbe algébrique de degré donné implique la quasipositivité qu’une certaine tresse (voir [4]).

L’idée de la preuve est aussi issue de la topologie des courbes algébriques réelles. Elle résulte de l’observation suivante. Soit C ⊂ RP^{2} une courbe réelle et A un petit arc convexe de C, dont l’enveloppe convexe contient un point p ∉ C et ne contient pas d’autres parties de la courbe. Alors, la tresse associée à la projection par rapport au point p est obtenue par un mouvement de Markov positif à partir de la tresse associée à la projection par rapport à un point de A. La preuve du Théorème 1 modélise cette situation par les courbes pseudo-homomorphes.

Remarque. Si b′ est obtenue à partir d’une tresse quelconque par un mouvement de Markov négatif, alors b′ n’est jamais quasipositive. C’est une conséquence

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immédiate du résultat suivant de Burckel [1] et Laver [3] (une preuve géométrique a été donnée par Wiest [6]): Toute tresse conjuguée à une tresse quasipositive est positive dans l’ordre invariant à droite de Dehornoy.

On dit qu’un entrelacs dans une 3-sphère est un entrelacs quasipositif s’il est isotope à une tresse quasipositive fermée.

Question 1. Soit L un entrelacs quasipositif et b une tresse représentant L, dont le nombre des brins est minimal. Est ce que cela implique que b est quasipositive?

Dans le cas où b est une 2-tresse, la réponse est affirmative; cela est une conséquence immédiate du fait qu’un entrelacs non-slice et son image miroir ne peuvent pas être simultanément quasipositifs (voir [5]).

Question 2. Soient b_{1} et b_{2} deux tresses quasipositives représentant le même entrelacs. Est ce qu’il est toujours possible de passer de b_{1} à b_{2}, en utilisant uniquement des conjugaisons et des mouvements de Markov positifs?