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\rightheadtext{Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule}
\leftheadtext{Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule}

\exhyphenpenalty=10000




\define\Ord{\operatorname{Ord}}

\define\refBen {1}
\define\refBR {2}
\define\refDou {3}
\define\refEl {4}
\define\refFW {5}
\define\refGr {6}
\define\refGro {7}
\define\refKM {8}
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\NoBlackBoxes

\document


\topmatter
\title \tit Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule
pseudo-convexe.
\endtitle
\author M. Boileau and S. Orevkov
\endauthor
\date Novembre, 2000
\enddate
   
\endtopmatter


{\eightpoint  {\bf Resum\'e} Une tresse {\it quasipositive} est  un
produit de conjugu{\'e}s des g{\'e}n{\'e}rateurs standards du groupe des
tresses. Un entrelacs
dans $\Bbb S^3$ est {\it quasipositif} s'il est isotope \`a la fermeture
d'une 
tresse quasipositive. Dans cette note nous montrons que le bord d'un
morceau de courbe analytique
dans une boule pseudo-convexe est un entrelacs quasipositif. Ce r\'esultat
\'etait conjectur\'e
par Lee Rudolph.  
\medskip

\centerline{\bf Quasipositivity of an analytic curve in a  pseudoconvex
4-ball}
\medskip

{\bf Abstact} A {\it quasipositive} braid is any  product of conjugates of
the standard generators 
of the braid group, and a {\it quasipositive} link in $\Bbb S^3$ is
isotopic to the closure of 
quasipositive braid. In this note we prove that the boundary  of an
analytic curve in
a pseudoconvex 4-ball is a quasipositive link. It was conjectured by Lee
Rudolph.}


\medskip
\subhead {Abridged english version} \endsubhead

L. Rudolph \cite {\refRuOne} has proved that a {\it quasipositive} oriented
surface, properly
embedded in the standard unit ball  $\Bbb B_1 = \{ |z|^2 + |w|^2 \leq 1 \}
\subset \Bbb C^2$,
is diffeomorphic to a smooth piece of an analytic curve. 

\definition{Definition} A {\it quasipositive} oriented surface in the 
bidisk ${\Cal D} = {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2} = 
\{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq 1 \}$ is a proper smooth
embedding
$\iota:(F,\partial F) \to ({\Cal D}, \partial {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb
D_{2}^2})$
such that: \roster
\item "(1)" $pr_{1} \circ \iota:(F,\partial F) \to ({\Bbb D_{1}^2},
\partial {\Bbb D_{1}^2})$
is a simple branched covering, without branching point on the boundary; 
\item "(2)" the projection $pr_{1} \circ \iota$ is orientation preserving
outside the branching
points, when ${\Bbb D_{1}^2} \subset \Bbb C$ is endowed with the complex
orientation;
\item "(3)" the projection $pr_{2}$ preserves the given  orientation on $F$
(when 
${\Bbb D_{2}^2}\subset \Bbb C$ is endowed with the complex orientation) 
in the neighborhoods of the branching points of $pr_1$.
\endroster

An oriented smooth surface $(F,\partial F) \hookrightarrow (B^4,\partial
B^4)$, properly embedded
in a 4-ball $B^4$ is said {\it quasipositive} if there is a diffeomorphism
of $B^4$
on the bidisk $\Cal D$ (after smoothing the corners) that maps $F$ to a
quasipositive surface in
$\Cal D$.
\enddefinition

In this note we prove the converse of Rudolph's theorem:
  
\proclaim{Theorem 1} Let $F \hookrightarrow \Bbb{B}_1$ be a smooth piece 
of analytic curve, properly embedded in the  unit 
standard ball $\Bbb {B}_1 \subset \Bbb{C}^2$ and transverse to $\partial
\Bbb {B}_1$. 
Then, the surface  F with the induced
 complex orientation is  quasipositive. 
\endproclaim

The proof of theorem 1 follows almost immediatly from Gromov's theory of
pseudoholomorphic
lines \cite{\refGro} and Bennequin's theorem \cite{\refBen} which claims
that any oriented link positively cutting the
standard contact structure on $\Bbb S^3$ is isotopic (through an isotopy
transverse to the
standard contact structure on $\Bbb S^3$) to a closed braid. 
\medskip

Using Eliashberg's theorem \cite{\refEl} on the existence of a
pluri-subharmonic function
with a single critical point on a pseudoconvex symplectic 4-ball, we extend
theorem 1 
to a symplectic surface in a symplectic pseudoconvex 4-ball.

We recall that a symplectic structure on a smooth oriented 4-manifold is
given by a nondegenerate 
closed 2-form $\omega$: $\omega \wedge \omega > 0$. A properly embedded
oriented surface $F$
in a symplectic 4-manifold is {\it symplectic} if the restriction
$\omega\vert_{F} > 0$.

A {\it contact structure}
$\xi$ on a smooth oriented 3-manifold $M^3$ is a  $\Cal C^{\infty}$  
tangent plane field $\xi = \ker \alpha$, for 
a 1-form $\alpha$ such that $\alpha \wedge d\alpha \neq 0$. The contact
structure
is said {\it convexe} if $\alpha \wedge d\alpha > 0$. 

An oriented link $L$, smoothly embedded in $M^3$ is {\it ascending} for the
contact structure
 $\xi = \ker \alpha$ if the restriction $\alpha\vert_{L} > 0$
 


\proclaim{Theorem 2} Let $\Omega$ be diffeomorphic to a 4-ball  
and $\omega$ a symplectic structure on $\Omega$. Let us assume that  
$\partial \Omega$ admits a convex contact structure  
$\xi$ such that $\omega\vert_{\xi} > 0$. Let
$(F,\partial F) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$ be an oriented
smooth
properly embedded symplectic surface. If the boundary
$\partial F$,
with the induced orientation, is ascending for the contact structure
 $\xi$, then $F$ is a  quasipositive surface.

In particular Theorem 1 remains true if we replace the unit ball $\Bbb B_1$
by a pseudo-convex
ball in $\Bbb C^2$.
\endproclaim



--------------------------------

\subhead{Introduction}
\endsubhead



Un entrelacs orient{\'e} $L$ est une r{\'e}union finie de cercles
orient{\'e}s, 
disjoints, plong{\'e}s de fa\c{c}on lisse  
dans la sph{\`e}re $\Bbb S^3$. Il est dit {\it quasipositif} s'il admet une
repr{\'e}sentation sous 
la forme d'une tresse ferm{\'e}e, pour laquelle le mot dans le groupe des 
tresses est {\'e}quivalent {\`a} un
produit de conjugu{\'e}s des g{\'e}n{\'e}rateurs standards. 

L. Rudolph \cite {\refRuOne} a montr{\'e} que tout entrelacs quasipositif 
peut-{\^e}tre obtenu comme 
l'intersection transverse d'une courbe alg{\'e}brique dans $\Bbb C^2$ avec
le bord de la boule unit{\'e}
standard $\Bbb B_1 = \{ |z|^2 + |w|^2 \leq 1 \}$. 

Le but principal de cette note est de d{\'e}montrer la r{\'e}ciproque du 
th{\'e}or{\`e}me de Rudolph, qui
permet de caract{\'e}riser le bord d'une courbe analytique dans une boule 
pseudo-convexe comme 
entrelacs quasipositif. Ce r\'esultat avait \'et\'e conjectur\'e
par Lee Rudolph \cite {\refRuOne}. 

Pour {\'e}noncer de fa\c{c}on pr{\'e}cise nos r{\'e}sultats, nous utilisons
la notion suivante:

\definition{D{\'e}finition} Une surface orient{\'e}e {\it quasipositive}
dans le
bidisque ${\Cal D} = {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2} = 
\{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq 1 \}$ est un
plongement propre et lisse 
$\iota:(F,\partial F) \to ({\Cal D}, \partial {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb
D_{2}^2})$
tel que: \roster
\item "(1)" $pr_{1} \circ \iota:(F,\partial F) \to ({\Bbb D_{1}^2},
\partial {\Bbb D_{1}^2})$
est un rev{\^e}tement ramifi{\'e} simple, sans point de ramification au
bord; 
\item "(2)" la projection $pr_{1} \circ \iota$ respecte l'orientation en
dehors des points 
de ramification, lorsque l'on munit ${\Bbb D_{1}^2} \subset \Bbb C$ de
l'orientation complexe;
\item "(3)" la projection $pr_{2}$ respecte l' orientation donn{\'e}e de
$F$  
(lorsque l'on munit ${\Bbb D_{2}^2} \subset \Bbb C$ de l'orientation
complexe) 
 au voisinage des points de ramifications de $pr_1$.
\endroster

Une surface  orient{\'e}e lisse $(F,\partial F) \hookrightarrow
(B^4,\partial B^4)$, 
proprement plong{\'e}e  dans une boule $B^4$, est dite {\it quasipositive}
s'il existe 
un diff{\'e}omorphisme de $B^4$
sur le bidisque $\Cal D$ (apr\'es lissage des coins), qui envoie $F$ sur
une surface quasipositive dans
$\Cal D$.
\enddefinition

\remark{Remarque} Un entrelacs orient{\'e} $L \subset \partial B^4$ est
quasipositif si et seulement s'il
borde, avec l'orientation induite, une surface quasipositive dans la boule
$B^4$.
Les r{\'e}sultats de Kronheimer et Mrowka \cite {\refKM} et de L. Rudolph
\cite {\refRuOne}  
montrent que 
la caract{\'e}ristique d'Euler
de la surface quasipositive est alors d{\'e}termin{\'e}e par l'entrelacs
$L$,
mais pas son plongement {\`a} isotopie pr{\'e}s. \endremark
\medskip

Dans \cite{\refRuOne}, L. Rudolph a montr\'e qu'une surface 
orient\'ee quasipositive et proprement plong\'ee dans la boule  unit\'e 
$\Bbb B_1 \subset \Bbb C^2$  est diff\'eomorphe, par un diff\'eomorphisme
ambiant, \`a un
morceau compact et lisse de courbe analytique. Nous d\'emontrons  la 
r\'eciproque:

\proclaim{Th{\'e}or{\`e}me 1} Soit $F \hookrightarrow \Bbb{B}_1$ un morceau
lisse de courbe analytique, proprement plong{\'e} dans la boule unit{\'e} 
standard $\Bbb {B}_1 \subset \Bbb{C}^2$ et transverse {\`a} $\partial \Bbb
{B}_1$. 
Alors, la surface F orient{\'e}e par
l'orientation complexe est quasipositive. 
\endproclaim
\medskip

La preuve de ce th{\'e}or{\`e}me d{\'e}coule directement de la th{\'e}orie
des courbes pseudo\-holomorphes, due {\`a} Gromov \cite{\refGro}, et d'un
th{\'e}or{\`e}me de 
Bennequin \cite{\refBen}
qui montre qu'un entrelacs orient{\'e}, rencontrant 
transversalement et positivement la structure de contact standard de 
$\Bbb {S}^3$, peut {\^e}tre isotop{\'e}
(par une isotopie transverse {\`a} la structure de contact standard de
$\Bbb {S}^3$) 
en une tresse ferm{\'e}e.

Une cons{\'e}quence du th{\'e}or{\`e}me de Rudolph \cite {\refRuOne} et du 
th{\'e}or{\`e}me 1 est de caract{\'e}riser topologiquement {\it les
morceaux lisses 
de courbes analytiques, proprement plong{\'e}s dans la boule 
$\Bbb {B}_1$ et transverses {\`a} son bord, comme les surfaces
quasipositives dans cette boule}.


On rappelle qu'une structure symplectique sur une vari{\'e}t{\'e}
orient{\'e}e lisse de 
dimension 4 est donn{\'e}e
par une 2-forme ferm{\'e}e $\omega$, qui n'est pas
d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e: 
$\omega \wedge \omega > 0$. Une surface orient{\'e}e $F$, proprement
plong{\'e}e dans 
une vari{\'e}t{\'e} symplectique, est dite {\it symplectique} si la
restriction de 
$\omega$ {\`a} $F$ est positive: $\omega\vert_{F} > 0$. 

Une {\it structure de contact} $\xi$ sur une vari{\'e}t{\'e} orient{\'e}e
lisse
$M^3$ de dimension 3 est un champs $\Cal C^{\infty}$ de plans tangents $\xi
= \ker \alpha$,
pour une 1-forme $\alpha$ telle que $\alpha \wedge d\alpha \neq 0$. La
structure de contact
est dite {\it convexe} si $\alpha \wedge d\alpha > 0$. 

Un entrelacs orient{\'e} $L$ lisse, plong{\'e} dans $M^3$ est dit {\it
ascendant} 
pour la structure de contact
$\xi = \ker \alpha$ si $\alpha\vert_{ L} > 0$. 


Le th{\'e}or{\`e}me 1 peut {\^e}tre g{\'e}n{\'e}ralis{\'e} dans une boule
symplectique $\Omega$ de dimension 4 et {\`a} bord strictement
pseudoconvexe, grace
au th{\'e}or{\`e}me d'Eliashberg \cite{\refEl} qui assure l'existence d'une
fonction
plurisous-harmonique avec un seul point critique sur  $\Omega$.


\proclaim{Th{\'e}or{\`e}me 2} Soient $\Omega$ diff{\'e}omorphe {\`a} la  
boule $B^{4}$ et $\omega$ une structure symplectique sur $\Omega$.  
On suppose que $\partial \Omega$ est muni d'une structure de contact  
convexe $\xi$ telle que $\omega\vert_{\xi} > 0$. Soit 
$(F,\partial F) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$ une surface
orient{\'e}e, symplectique, lisse et proprement plong{\'e}e.  
Si le bord $\partial F$, muni de  
l'orientation induite, est 
ascendant pour la structure de contact $\xi$, alors $F$ est une surface
quasipositive.

En particulier, le th\'eor\`eme 1 reste vrai si on remplace la boule
unit\'e $\Bbb B_1$
par une boule pseudo-convexe dans $\Bbb C^2$.
\endproclaim

\medskip

Soit $P_{L}(v,x) \in \Bbb{C}[v^{\pm 1},x^{\pm 1}]$ le polyn\^ome  HOMFLY 
de l'entrelacs
orient\'e $L\subset \Bbb S^3$. C'est un polyn\^ome de Laurent \`a 2
variable, d\'efini 
r\'ecursivement par (cf. \cite{\refMor}):\roster
\item "(i)" $P_{O}(v,x) = 1$ pour le noeud trivial $O$;
\item "(ii)" $P_{L_{+}}(v,x) = vxP_{L_{0}}(v,x) + v^{2}P_{L_{-}}(v,x)$, o\`u $L_{+}, L_{-}$ et
$L_{0}$ sont trois entrelacs orient\'es dont les projections sont
identiques,
 except\'e en un seul croisement, comme dans la relation skein usuelle.
\endroster

On d\'esigne  alors par
$\Ord_{v}P_{L}$  la valuation en $v$ de $P_{L}(v,x)$, consid\'er\'e comme
un
polyn\^ome de Laurent en $v$ et \`a
co\'efficients dans  $\Bbb{C}[x^{\pm 1}]$.

L'in{\'e}galit{\'e} suivante est une cons{\'e}quence facile du
Th{\'e}or{\`e}me 2 
et de l'in{\'e}galit{\'e} de Frank-Williams \cite {\refFW} et Morton
\cite{\refMor} 
pour les tresses ferm{\'e}es (cf. \cite{\refBR}):

\proclaim{Corollaire 1} Sous les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me 2 , on
a l'in{\'e}galit{\'e}:
$$\Ord_{v}P_{\partial F} \geq 1- \chi(F) .\qquad\qed$$ \endproclaim
\medskip

Comme cons{\'e}quence du Th{\'e}or{\`e}me 2 et du th{\'e}or{\`e}me de
Kronheimer et 
Mrowka \cite {\refKM}, on obtient: 

\proclaim{Corollaire 2} Sous les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me 2 ,
toute
surface orient{\'e}e, lisse et proprement plong\'ee 
$(\Sigma, \partial \Sigma) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$, 
telle que les entrelacs
orient{\'e}s $\partial \Sigma$ et $\partial F$ soient isotopes, v{\'e}rifie
l'in\'egalit\'e:$$
\chi(\Sigma) \leq \chi(F).\qquad\qed$$ \endproclaim
\medskip


\subhead 1.  Surfaces ascendantes  et preuve du th\'eor\`eme 1
\endsubhead
\bigskip

Soit $\Bbb C^2 = \{(z,w) \vert \, z \in \Bbb C, w \in \Bbb C \}$. On note 
 $\rho: \Bbb C^2 \to [0, +\infty[$ la fonction distance {\`a} l'origine,
donn\'ee par:
$\rho(z,w) = \sqrt{|z|^2 + |w|^2}$. La forme
symplectique standard sur $\Bbb C^2$ est donn{\'e}e par:\roster 
\item $\omega =i/2 \Big( dz\wedge d\bar z + dw\wedge d\bar w \Big) =
1/2(d\eta)$, o{\`u} 
\item $\eta = i/2 \Big( (z\cdot d\bar z - \bar{z}\cdot dz) + 
(w \cdot d\bar{w} - \bar{w}\cdot dw) \Big) = 1/2(d^c\rho^2)$.\endroster 


Soit $\Bbb B_r = \{|z|^2 + |w|^2 \leq r^2 \}$. La structure de contact
standard sur 
$\Bbb S_r = \partial \Bbb B_r$ est donn{\'e}e par $\alpha_r = \eta_{\vert
\Bbb S_r}$.


\definition{D{\'e}finition 1} Une surface {\it ascendante} dans la boule
unit{\'e} 
$\Bbb B_1$ est une surface $F$
orient{\'e}e, lisse, proprement plong{\'e}e, transverse 
au bord,
qui {\'e}vite l'origine et telle que: \roster 
\item "(i)" $\rho\vert_{ F}$ est une fonction de Morse; 
\item "(ii)" $\forall r\in ]0,1], F\cap \Bbb S_r$ est ascendant: i.e. 
$(d\rho \wedge \eta)\vert_{ F} >0$ en tout point r{\'e}gulier de la
fonction $\rho\vert_{ F}$.
\endroster
\enddefinition

L'affirmation suivante d{\'e}coule imm{\'e}diatement de la d{\'e}finition
d'une surface 
ascendante: 

\proclaim{Affirmation} Soit $F \subset \Bbb B_1$ une surface ascendante. 
Si $p\in F$ est un point critique de la fonction $\rho\vert_{ F}$, alors 
$T_{p}F = \ker \alpha_r$, o{\`u} $r = \rho(p)$; c'est \`a dire que $T_{p}F$
est un 
plan complexe. \qed
\endproclaim

\definition{D{\'e}finition 2} Soit $F \subset \Bbb B_1$ une surface
ascendante. Un point 
critique $p\in F$ de la fonction $\rho\vert_{ F}$ est dit {\it positif} 
si l'orientation de $T_{p}F$ co\"{\i}ncide avec l'orientation complexe.

Si tous les points critiques de la fonction $\rho\vert_{ F}$ sont positifs,
la surface $F$ est 
dite {\it ascendante \`a points critiques positifs}.
\enddefinition
\medskip

Un morceau lisse de courbe analytique, proprement plong{\'e} dans la boule
unit{\'e}
et qui {\'e}vite l'origine, est une surface ascendante \`a points
critiques  positifs. Comme on peut toujours perturber une courbe 
analytique pour lui faire {\'e}viter
l'origine, le th{\'e}or{\`e}me 1 est une cons\'equence imm{\'e}diate de
la proposition suivante:

\medskip

\proclaim{Proposition} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a
 points critiques  positifs, alors $F$ est une
surface quasipositive.
\endproclaim

La preuve de cette proposition d{\'e}coule des deux lemmes suivants: 

\proclaim{Lemme 1} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a
points
critiques  positifs. Alors il existe une constante 
$a >0$ suffisamment grande, telle que la surface $f_a(F) \subset \Bbb
B_{e^a}$ est 
symplectique, o\`u l'application $f_a: \Bbb B_{1}-\{0\} \to \Bbb
B_{e^a}-\{0\}$ est
d{\'e}finie par $f_a(p) = \exp(a\rho(p))\cdot p$. \endproclaim

\demo{Preuve}
Soit $\omega = 1/2(d\eta)$ la forme symplectique standard sur $\Bbb{C}^2$.
On veut montrer que
pour $a > 0$ suffisamment grand $\omega\vert_{ f_a(F)} >0$, c'est {\`a}
dire que
$f_{a}^{\star}(\omega)\vert_F >0$.
Un calcul {\'e}l{\'e}mentaire montre que:
$$
f_{a}^{\star}(\omega)\vert_{ F} = i/2 \Big(
d(e^{a\rho}z) \wedge d(e^{a\rho}\bar z) + d(e^{a\rho}\omega) \wedge
d(e^{a\rho}\bar \omega) \Big)
= e^{2a\rho}(\omega + a\,d\rho \wedge \eta). $$

Puisque $F$ est une surface ascendante dans $\Bbb B_1$,  
$(d\rho \wedge\eta)\vert_F >0$
aux points r{\'e}guliers de $\rho\vert_{ F}$. La preuve du Lemme 1
d\'ecoule alors du fait que
${\omega}\vert_{ T_{p}F} >0$ 
aux points critiques
de $\rho\vert_{ F}$, puisque ceux-ci sont positifs par hypoth{\`e}se.\qed 
\enddemo
\medskip


\definition{D{\'e}finition 3} Un entrelacs orient\'e $L\subset\Bbb S_1$ est
dit {\it monotone} si
$d(\arg z)\vert_{ F} > 0$. De fa\c{c}on \'equivalente, un tel entrelacs est
sous forme de tresse 
ferm{\'e}e d'axe $\{z = 0, |w| = 1\}$.
\enddefinition
\medskip


\proclaim{Lemme 2} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a
points
critiques  positifs. Si son bord est monotone, alors la surface 
$F$ est quasipositive.
\endproclaim



\demo{Preuve}
On consid{\`e}re la boule $\Bbb B_1$ plong{\'e}e dans le bidisque 
$\Bbb D_{1} \times \Bbb D_{R} = 
\{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq R \}$, pour une constante $R \gg
1$. On prolonge
alors la surface $F$ jusqu'au bord du bidisque par les anneaux 
${\{t\cdot p \, \vert \, p \in F\cap \Bbb S_1, t\geq 1 \}} \cap {\Bbb D_{1}
\times \Bbb D_{R}}$.
On appelle $\hat F$ la surface ainsi prolong{\'e}e. On peut toujours 
lisser $\hat F$ en utilisant une transformation radiale (i.e. de la 
forme $p \rightarrow \phi(\rho(p)) \cdot p$) dans un petit collier 
de $\partial \Bbb D_{1}$. Le r\'esultat est alors 
une surface ascendante \`a points critiques positifs. Le lemme 1 
permet de suposer que $\hat F$ est symplectique pour la forme 
symplectique standard sur $\Bbb{C}^2$.

Soit $\varpi_{\varepsilon}$ la forme de Fubini-Study (renormalis\'ee) sur
$\Bbb C \times  
\Bbb{C}\Bbb{P}^{1} = \{(z,w) \vert z\in \Bbb C$ et $w \in \Bbb C \cup
\{\infty\} \}$, 
donn{\'e}e dans $\Bbb{C}^{2}$ par :  

$$ \varpi_{\varepsilon} = i/2\{dz\wedge d\bar z + (dw\wedge d\bar w)/(1+
\varepsilon \vert w \vert^2)^{2}\}.$$

On v{\'e}rifie facilement que pour une constante $0<\varepsilon \ll 1$,
 la surface $\hat F$  est symplectique pour la forme
$\varpi_{\varepsilon}$. 

Comme $\partial \hat F$ est monotone, il est positivement transverse, dans
$\partial \Bbb D_{1} \times \Bbb C$, aux droites $\{z = a\}_{|a| = 1}$.
Donc,  
d'apr{\`e}s Gromov \cite {\refGro} il existe sur $\Bbb C \times  
\Bbb{C}\Bbb{P}^{1}$ une structure presque complexe $\Cal J$,
mod{\'e}r{\'e}e 
pour la forme symplectique $\varpi_{\varepsilon}$, et pour laquelle la
surface symplectique 
$\hat F$ et la famille de droites $\{z = a\}_{|a| = 1}$ 
sont pseudo-holomorphes. De plus la  
famille de droites pseudo-holomorphes $\{z = a\}_{|a| = 1}$ s'{\'e}tend en
un fibr{\'e} 
en droites projectives pseudo-holomorphes  
$\pi : \Bbb{D}_{1} \times \Bbb{C}\Bbb{P}^{1} \to \Bbb{D}_{1}$. 

Les r{\'e}sultats de Micallef et White \cite {\refMW} montrent alors que la
surface $\hat F$, et donc la surface $F$, est quasipositive.
On peut aussi, en travaillant un peu, se ramener au cas o\`u les contacts
avec les fibres sont 
quadratiques; ils sont
alors positifs d'apr\`es D. McDuff \cite {\refMc}.\qed
\enddemo

\medskip

\demo{Preuve de la Proposition} 
Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a points critiques 
 positifs. D'apr{\'e}s D. Bennequin \cite {\refBen} (cf. aussi
\cite {\refDou}), il existe une isotopie ascendante de l'entrelacs 
$L_1 = F\cap \Bbb S_1$, orient{\'e} par
l'orientation induite de celle de $F$, {\`a} une tresse ferm{\'e}e
$L_2$. Il existe donc une famille {\`a} un param{\`e}tre $\{L_t\}_{t\in
[1,2]}$ 
d'entrelacs ascendants
telle que $L_1 = F\cap \Bbb S_1$ et que $L_2$ est monotone.

Apr\`es avoir liss\'e la 
surface $F' = F\cup \Big( \bigcup_{t\in [1,2]}t\cdot L_t \Big)$ comme 
dans la preuve du Lemme 2, on obtient  une surface
ascendante dans la boule
$\Bbb B_2$, dont le bord $L_2 = F'\cap \Bbb B_2$ est monotone et 
ascendant. De plus tous
les points critiques de la fonction $\rho\vert_{F'}$ sont contenus dans $F$
et donc positifs.

Le Lemme 2 montre alors que la surface $F'$ est quasipositive.  Comme les
paires
$(\Bbb B_1,F)$ et $(\Bbb B_2,F')$ sont diff\'eomorphes, la surface $F$ est
quasipositive.
\qed
\enddemo 



\subhead 2.  Preuve du th{\'e}or{\`e}me 2
\endsubhead

D'apr{\'e}s Eliashberg \cite {\refEl}, il existe sur la boule $\Omega$ une
structure presque complexe 
$\Cal J$, mod{\'e}r{\'e}e pour la forme symplectique $\omega$ et telle
que:\roster
\item "1)" la structure de contact $\xi$ sur le bord $\partial \Omega$ est
donn{\'e} par le champs des tangentes complexes;
\item "2)" la surface $F$ est $\Cal J$-holomorphe; 
\item "3)" il existe une fonction plurisous-harmonique $\phi: \Omega \to
[0,1]$ 
telle que $\partial \Omega = \phi^{-1}(1)$ et ayant un seul point  
critique $p$ tel que $\phi(p) = 0$.\endroster 

En particulier, $\phi^{-1}(r^2)$, pour $0< r \leq 1$, est une sph{\`e}re
munie d'une structure 
de contact tendue $\xi_{r,\Cal J}$.

Le th{\'e}or{\`e}me de Gray \cite {\refGr} montre qu'il existe un
diff{\'e}omorphisme 
$\Psi: \Omega \to \Bbb B_1$ tel que:\roster 
\item "1)" $\phi \circ \Psi = \rho^2$; 
\item "2)" $\Psi^{\star}\xi_{r,\Cal J}$ est la structure de contact
standard sur la sph{\`e}re
$\Bbb S_r$ donn{\'e}e par la 1-forme de contact $\alpha_r$.\endroster 

Alors la surface proprement plong{\'e}e $\Psi(F)$ est ascendante dans $\Bbb
B_1$, et 
les points critiques 
de la fonction $\rho_{\vert \Psi(F)\vert}$ sont positifs car $F$ est $\Cal
J$-holomorphe
dans $\Omega$. On peut donc appliquer la Proposition du $\S1$.\qed 

\bigskip

Les auteurs remercie le rapporteur pour la pertinence de ses 
corrections et suggestions, qui ont permis d'am\'eliorer ce texte.

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\noindent Laboratoire \'Emile Picard, CNRS UMR 5580, Universit\'e 
Paul Sabatier, 118 Route de Narbonne,
F-31062 TOULOUSE Cedex 4, France


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