%&AMS-TeX \input amstex \documentstyle{amsppt} \input BoxedEPS.tex %\SetTexturesEPSFSpecial \SetRokickiEPSFSpecial \HideDisplacementBoxes \rightheadtext{Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule} \leftheadtext{Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule} \exhyphenpenalty=10000 \define\Ord{\operatorname{Ord}} \define\refBen {1} \define\refBR {2} \define\refDou {3} \define\refEl {4} \define\refFW {5} \define\refGr {6} \define\refGro {7} \define\refKM {8} \define\refMc {9} \define\refMW {10} \define\refMor {11} \define\refRuOne {12} \magnification=1200 %\raggedbottom \nologo %\vsize 24.3 true cm \vcorrection{.3truecm} \font\intro=cmbx10 scaled \magstep0 \font\tit=cmbx10 scaled \magstep2 \NoBlackBoxes \document \topmatter \title \tit Quasipositivit{\'e} d'une courbe analytique dans une boule pseudo-convexe. \endtitle \author M. Boileau and S. Orevkov \endauthor \date Novembre, 2000 \enddate \endtopmatter {\eightpoint {\bf Resum\'e} Une tresse {\it quasipositive} est un produit de conjugu{\'e}s des g{\'e}n{\'e}rateurs standards du groupe des tresses. Un entrelacs dans $\Bbb S^3$ est {\it quasipositif} s'il est isotope \`a la fermeture d'une tresse quasipositive. Dans cette note nous montrons que le bord d'un morceau de courbe analytique dans une boule pseudo-convexe est un entrelacs quasipositif. Ce r\'esultat \'etait conjectur\'e par Lee Rudolph. \medskip \centerline{\bf Quasipositivity of an analytic curve in a pseudoconvex 4-ball} \medskip {\bf Abstact} A {\it quasipositive} braid is any product of conjugates of the standard generators of the braid group, and a {\it quasipositive} link in $\Bbb S^3$ is isotopic to the closure of quasipositive braid. In this note we prove that the boundary of an analytic curve in a pseudoconvex 4-ball is a quasipositive link. It was conjectured by Lee Rudolph.} \medskip \subhead {Abridged english version} \endsubhead L. Rudolph \cite {\refRuOne} has proved that a {\it quasipositive} oriented surface, properly embedded in the standard unit ball $\Bbb B_1 = \{ |z|^2 + |w|^2 \leq 1 \} \subset \Bbb C^2$, is diffeomorphic to a smooth piece of an analytic curve. \definition{Definition} A {\it quasipositive} oriented surface in the bidisk ${\Cal D} = {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2} = \{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq 1 \}$ is a proper smooth embedding $\iota:(F,\partial F) \to ({\Cal D}, \partial {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2})$ such that: \roster \item "(1)" $pr_{1} \circ \iota:(F,\partial F) \to ({\Bbb D_{1}^2}, \partial {\Bbb D_{1}^2})$ is a simple branched covering, without branching point on the boundary; \item "(2)" the projection $pr_{1} \circ \iota$ is orientation preserving outside the branching points, when ${\Bbb D_{1}^2} \subset \Bbb C$ is endowed with the complex orientation; \item "(3)" the projection $pr_{2}$ preserves the given orientation on $F$ (when ${\Bbb D_{2}^2}\subset \Bbb C$ is endowed with the complex orientation) in the neighborhoods of the branching points of $pr_1$. \endroster An oriented smooth surface $(F,\partial F) \hookrightarrow (B^4,\partial B^4)$, properly embedded in a 4-ball $B^4$ is said {\it quasipositive} if there is a diffeomorphism of $B^4$ on the bidisk $\Cal D$ (after smoothing the corners) that maps $F$ to a quasipositive surface in $\Cal D$. \enddefinition In this note we prove the converse of Rudolph's theorem: \proclaim{Theorem 1} Let $F \hookrightarrow \Bbb{B}_1$ be a smooth piece of analytic curve, properly embedded in the unit standard ball $\Bbb {B}_1 \subset \Bbb{C}^2$ and transverse to $\partial \Bbb {B}_1$. Then, the surface F with the induced complex orientation is quasipositive. \endproclaim The proof of theorem 1 follows almost immediatly from Gromov's theory of pseudoholomorphic lines \cite{\refGro} and Bennequin's theorem \cite{\refBen} which claims that any oriented link positively cutting the standard contact structure on $\Bbb S^3$ is isotopic (through an isotopy transverse to the standard contact structure on $\Bbb S^3$) to a closed braid. \medskip Using Eliashberg's theorem \cite{\refEl} on the existence of a pluri-subharmonic function with a single critical point on a pseudoconvex symplectic 4-ball, we extend theorem 1 to a symplectic surface in a symplectic pseudoconvex 4-ball. We recall that a symplectic structure on a smooth oriented 4-manifold is given by a nondegenerate closed 2-form $\omega$: $\omega \wedge \omega > 0$. A properly embedded oriented surface $F$ in a symplectic 4-manifold is {\it symplectic} if the restriction $\omega\vert_{F} > 0$. A {\it contact structure} $\xi$ on a smooth oriented 3-manifold $M^3$ is a $\Cal C^{\infty}$ tangent plane field $\xi = \ker \alpha$, for a 1-form $\alpha$ such that $\alpha \wedge d\alpha \neq 0$. The contact structure is said {\it convexe} if $\alpha \wedge d\alpha > 0$. An oriented link $L$, smoothly embedded in $M^3$ is {\it ascending} for the contact structure $\xi = \ker \alpha$ if the restriction $\alpha\vert_{L} > 0$ \proclaim{Theorem 2} Let $\Omega$ be diffeomorphic to a 4-ball and $\omega$ a symplectic structure on $\Omega$. Let us assume that $\partial \Omega$ admits a convex contact structure $\xi$ such that $\omega\vert_{\xi} > 0$. Let $(F,\partial F) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$ be an oriented smooth properly embedded symplectic surface. If the boundary $\partial F$, with the induced orientation, is ascending for the contact structure $\xi$, then $F$ is a quasipositive surface. In particular Theorem 1 remains true if we replace the unit ball $\Bbb B_1$ by a pseudo-convex ball in $\Bbb C^2$. \endproclaim -------------------------------- \subhead{Introduction} \endsubhead Un entrelacs orient{\'e} $L$ est une r{\'e}union finie de cercles orient{\'e}s, disjoints, plong{\'e}s de fa\c{c}on lisse dans la sph{\`e}re $\Bbb S^3$. Il est dit {\it quasipositif} s'il admet une repr{\'e}sentation sous la forme d'une tresse ferm{\'e}e, pour laquelle le mot dans le groupe des tresses est {\'e}quivalent {\`a} un produit de conjugu{\'e}s des g{\'e}n{\'e}rateurs standards. L. Rudolph \cite {\refRuOne} a montr{\'e} que tout entrelacs quasipositif peut-{\^e}tre obtenu comme l'intersection transverse d'une courbe alg{\'e}brique dans $\Bbb C^2$ avec le bord de la boule unit{\'e} standard $\Bbb B_1 = \{ |z|^2 + |w|^2 \leq 1 \}$. Le but principal de cette note est de d{\'e}montrer la r{\'e}ciproque du th{\'e}or{\`e}me de Rudolph, qui permet de caract{\'e}riser le bord d'une courbe analytique dans une boule pseudo-convexe comme entrelacs quasipositif. Ce r\'esultat avait \'et\'e conjectur\'e par Lee Rudolph \cite {\refRuOne}. Pour {\'e}noncer de fa\c{c}on pr{\'e}cise nos r{\'e}sultats, nous utilisons la notion suivante: \definition{D{\'e}finition} Une surface orient{\'e}e {\it quasipositive} dans le bidisque ${\Cal D} = {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2} = \{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq 1 \}$ est un plongement propre et lisse $\iota:(F,\partial F) \to ({\Cal D}, \partial {\Bbb D_{1}^2} \times {\Bbb D_{2}^2})$ tel que: \roster \item "(1)" $pr_{1} \circ \iota:(F,\partial F) \to ({\Bbb D_{1}^2}, \partial {\Bbb D_{1}^2})$ est un rev{\^e}tement ramifi{\'e} simple, sans point de ramification au bord; \item "(2)" la projection $pr_{1} \circ \iota$ respecte l'orientation en dehors des points de ramification, lorsque l'on munit ${\Bbb D_{1}^2} \subset \Bbb C$ de l'orientation complexe; \item "(3)" la projection $pr_{2}$ respecte l' orientation donn{\'e}e de $F$ (lorsque l'on munit ${\Bbb D_{2}^2} \subset \Bbb C$ de l'orientation complexe) au voisinage des points de ramifications de $pr_1$. \endroster Une surface orient{\'e}e lisse $(F,\partial F) \hookrightarrow (B^4,\partial B^4)$, proprement plong{\'e}e dans une boule $B^4$, est dite {\it quasipositive} s'il existe un diff{\'e}omorphisme de $B^4$ sur le bidisque $\Cal D$ (apr\'es lissage des coins), qui envoie $F$ sur une surface quasipositive dans $\Cal D$. \enddefinition \remark{Remarque} Un entrelacs orient{\'e} $L \subset \partial B^4$ est quasipositif si et seulement s'il borde, avec l'orientation induite, une surface quasipositive dans la boule $B^4$. Les r{\'e}sultats de Kronheimer et Mrowka \cite {\refKM} et de L. Rudolph \cite {\refRuOne} montrent que la caract{\'e}ristique d'Euler de la surface quasipositive est alors d{\'e}termin{\'e}e par l'entrelacs $L$, mais pas son plongement {\`a} isotopie pr{\'e}s. \endremark \medskip Dans \cite{\refRuOne}, L. Rudolph a montr\'e qu'une surface orient\'ee quasipositive et proprement plong\'ee dans la boule unit\'e $\Bbb B_1 \subset \Bbb C^2$ est diff\'eomorphe, par un diff\'eomorphisme ambiant, \`a un morceau compact et lisse de courbe analytique. Nous d\'emontrons la r\'eciproque: \proclaim{Th{\'e}or{\`e}me 1} Soit $F \hookrightarrow \Bbb{B}_1$ un morceau lisse de courbe analytique, proprement plong{\'e} dans la boule unit{\'e} standard $\Bbb {B}_1 \subset \Bbb{C}^2$ et transverse {\`a} $\partial \Bbb {B}_1$. Alors, la surface F orient{\'e}e par l'orientation complexe est quasipositive. \endproclaim \medskip La preuve de ce th{\'e}or{\`e}me d{\'e}coule directement de la th{\'e}orie des courbes pseudo\-holomorphes, due {\`a} Gromov \cite{\refGro}, et d'un th{\'e}or{\`e}me de Bennequin \cite{\refBen} qui montre qu'un entrelacs orient{\'e}, rencontrant transversalement et positivement la structure de contact standard de $\Bbb {S}^3$, peut {\^e}tre isotop{\'e} (par une isotopie transverse {\`a} la structure de contact standard de $\Bbb {S}^3$) en une tresse ferm{\'e}e. Une cons{\'e}quence du th{\'e}or{\`e}me de Rudolph \cite {\refRuOne} et du th{\'e}or{\`e}me 1 est de caract{\'e}riser topologiquement {\it les morceaux lisses de courbes analytiques, proprement plong{\'e}s dans la boule $\Bbb {B}_1$ et transverses {\`a} son bord, comme les surfaces quasipositives dans cette boule}. On rappelle qu'une structure symplectique sur une vari{\'e}t{\'e} orient{\'e}e lisse de dimension 4 est donn{\'e}e par une 2-forme ferm{\'e}e $\omega$, qui n'est pas d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e: $\omega \wedge \omega > 0$. Une surface orient{\'e}e $F$, proprement plong{\'e}e dans une vari{\'e}t{\'e} symplectique, est dite {\it symplectique} si la restriction de $\omega$ {\`a} $F$ est positive: $\omega\vert_{F} > 0$. Une {\it structure de contact} $\xi$ sur une vari{\'e}t{\'e} orient{\'e}e lisse $M^3$ de dimension 3 est un champs $\Cal C^{\infty}$ de plans tangents $\xi = \ker \alpha$, pour une 1-forme $\alpha$ telle que $\alpha \wedge d\alpha \neq 0$. La structure de contact est dite {\it convexe} si $\alpha \wedge d\alpha > 0$. Un entrelacs orient{\'e} $L$ lisse, plong{\'e} dans $M^3$ est dit {\it ascendant} pour la structure de contact $\xi = \ker \alpha$ si $\alpha\vert_{ L} > 0$. Le th{\'e}or{\`e}me 1 peut {\^e}tre g{\'e}n{\'e}ralis{\'e} dans une boule symplectique $\Omega$ de dimension 4 et {\`a} bord strictement pseudoconvexe, grace au th{\'e}or{\`e}me d'Eliashberg \cite{\refEl} qui assure l'existence d'une fonction plurisous-harmonique avec un seul point critique sur $\Omega$. \proclaim{Th{\'e}or{\`e}me 2} Soient $\Omega$ diff{\'e}omorphe {\`a} la boule $B^{4}$ et $\omega$ une structure symplectique sur $\Omega$. On suppose que $\partial \Omega$ est muni d'une structure de contact convexe $\xi$ telle que $\omega\vert_{\xi} > 0$. Soit $(F,\partial F) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$ une surface orient{\'e}e, symplectique, lisse et proprement plong{\'e}e. Si le bord $\partial F$, muni de l'orientation induite, est ascendant pour la structure de contact $\xi$, alors $F$ est une surface quasipositive. En particulier, le th\'eor\`eme 1 reste vrai si on remplace la boule unit\'e $\Bbb B_1$ par une boule pseudo-convexe dans $\Bbb C^2$. \endproclaim \medskip Soit $P_{L}(v,x) \in \Bbb{C}[v^{\pm 1},x^{\pm 1}]$ le polyn\^ome HOMFLY de l'entrelacs orient\'e $L\subset \Bbb S^3$. C'est un polyn\^ome de Laurent \`a 2 variable, d\'efini r\'ecursivement par (cf. \cite{\refMor}):\roster \item "(i)" $P_{O}(v,x) = 1$ pour le noeud trivial $O$; \item "(ii)" $P_{L_{+}}(v,x) = vxP_{L_{0}}(v,x) + v^{2}P_{L_{-}}(v,x)$, o\`u $L_{+}, L_{-}$ et $L_{0}$ sont trois entrelacs orient\'es dont les projections sont identiques, except\'e en un seul croisement, comme dans la relation skein usuelle. \endroster On d\'esigne alors par $\Ord_{v}P_{L}$ la valuation en $v$ de $P_{L}(v,x)$, consid\'er\'e comme un polyn\^ome de Laurent en $v$ et \`a co\'efficients dans $\Bbb{C}[x^{\pm 1}]$. L'in{\'e}galit{\'e} suivante est une cons{\'e}quence facile du Th{\'e}or{\`e}me 2 et de l'in{\'e}galit{\'e} de Frank-Williams \cite {\refFW} et Morton \cite{\refMor} pour les tresses ferm{\'e}es (cf. \cite{\refBR}): \proclaim{Corollaire 1} Sous les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me 2 , on a l'in{\'e}galit{\'e}: $$\Ord_{v}P_{\partial F} \geq 1- \chi(F) .\qquad\qed$$ \endproclaim \medskip Comme cons{\'e}quence du Th{\'e}or{\`e}me 2 et du th{\'e}or{\`e}me de Kronheimer et Mrowka \cite {\refKM}, on obtient: \proclaim{Corollaire 2} Sous les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me 2 , toute surface orient{\'e}e, lisse et proprement plong\'ee $(\Sigma, \partial \Sigma) \hookrightarrow (\Omega,\partial \Omega)$, telle que les entrelacs orient{\'e}s $\partial \Sigma$ et $\partial F$ soient isotopes, v{\'e}rifie l'in\'egalit\'e:$$ \chi(\Sigma) \leq \chi(F).\qquad\qed$$ \endproclaim \medskip \subhead 1. Surfaces ascendantes et preuve du th\'eor\`eme 1 \endsubhead \bigskip Soit $\Bbb C^2 = \{(z,w) \vert \, z \in \Bbb C, w \in \Bbb C \}$. On note $\rho: \Bbb C^2 \to [0, +\infty[$ la fonction distance {\`a} l'origine, donn\'ee par: $\rho(z,w) = \sqrt{|z|^2 + |w|^2}$. La forme symplectique standard sur $\Bbb C^2$ est donn{\'e}e par:\roster \item $\omega =i/2 \Big( dz\wedge d\bar z + dw\wedge d\bar w \Big) = 1/2(d\eta)$, o{\`u} \item $\eta = i/2 \Big( (z\cdot d\bar z - \bar{z}\cdot dz) + (w \cdot d\bar{w} - \bar{w}\cdot dw) \Big) = 1/2(d^c\rho^2)$.\endroster Soit $\Bbb B_r = \{|z|^2 + |w|^2 \leq r^2 \}$. La structure de contact standard sur $\Bbb S_r = \partial \Bbb B_r$ est donn{\'e}e par $\alpha_r = \eta_{\vert \Bbb S_r}$. \definition{D{\'e}finition 1} Une surface {\it ascendante} dans la boule unit{\'e} $\Bbb B_1$ est une surface $F$ orient{\'e}e, lisse, proprement plong{\'e}e, transverse au bord, qui {\'e}vite l'origine et telle que: \roster \item "(i)" $\rho\vert_{ F}$ est une fonction de Morse; \item "(ii)" $\forall r\in ]0,1], F\cap \Bbb S_r$ est ascendant: i.e. $(d\rho \wedge \eta)\vert_{ F} >0$ en tout point r{\'e}gulier de la fonction $\rho\vert_{ F}$. \endroster \enddefinition L'affirmation suivante d{\'e}coule imm{\'e}diatement de la d{\'e}finition d'une surface ascendante: \proclaim{Affirmation} Soit $F \subset \Bbb B_1$ une surface ascendante. Si $p\in F$ est un point critique de la fonction $\rho\vert_{ F}$, alors $T_{p}F = \ker \alpha_r$, o{\`u} $r = \rho(p)$; c'est \`a dire que $T_{p}F$ est un plan complexe. \qed \endproclaim \definition{D{\'e}finition 2} Soit $F \subset \Bbb B_1$ une surface ascendante. Un point critique $p\in F$ de la fonction $\rho\vert_{ F}$ est dit {\it positif} si l'orientation de $T_{p}F$ co\"{\i}ncide avec l'orientation complexe. Si tous les points critiques de la fonction $\rho\vert_{ F}$ sont positifs, la surface $F$ est dite {\it ascendante \`a points critiques positifs}. \enddefinition \medskip Un morceau lisse de courbe analytique, proprement plong{\'e} dans la boule unit{\'e} et qui {\'e}vite l'origine, est une surface ascendante \`a points critiques positifs. Comme on peut toujours perturber une courbe analytique pour lui faire {\'e}viter l'origine, le th{\'e}or{\`e}me 1 est une cons\'equence imm{\'e}diate de la proposition suivante: \medskip \proclaim{Proposition} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a points critiques positifs, alors $F$ est une surface quasipositive. \endproclaim La preuve de cette proposition d{\'e}coule des deux lemmes suivants: \proclaim{Lemme 1} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a points critiques positifs. Alors il existe une constante $a >0$ suffisamment grande, telle que la surface $f_a(F) \subset \Bbb B_{e^a}$ est symplectique, o\`u l'application $f_a: \Bbb B_{1}-\{0\} \to \Bbb B_{e^a}-\{0\}$ est d{\'e}finie par $f_a(p) = \exp(a\rho(p))\cdot p$. \endproclaim \demo{Preuve} Soit $\omega = 1/2(d\eta)$ la forme symplectique standard sur $\Bbb{C}^2$. On veut montrer que pour $a > 0$ suffisamment grand $\omega\vert_{ f_a(F)} >0$, c'est {\`a} dire que $f_{a}^{\star}(\omega)\vert_F >0$. Un calcul {\'e}l{\'e}mentaire montre que: $$ f_{a}^{\star}(\omega)\vert_{ F} = i/2 \Big( d(e^{a\rho}z) \wedge d(e^{a\rho}\bar z) + d(e^{a\rho}\omega) \wedge d(e^{a\rho}\bar \omega) \Big) = e^{2a\rho}(\omega + a\,d\rho \wedge \eta). $$ Puisque $F$ est une surface ascendante dans $\Bbb B_1$, $(d\rho \wedge\eta)\vert_F >0$ aux points r{\'e}guliers de $\rho\vert_{ F}$. La preuve du Lemme 1 d\'ecoule alors du fait que ${\omega}\vert_{ T_{p}F} >0$ aux points critiques de $\rho\vert_{ F}$, puisque ceux-ci sont positifs par hypoth{\`e}se.\qed \enddemo \medskip \definition{D{\'e}finition 3} Un entrelacs orient\'e $L\subset\Bbb S_1$ est dit {\it monotone} si $d(\arg z)\vert_{ F} > 0$. De fa\c{c}on \'equivalente, un tel entrelacs est sous forme de tresse ferm{\'e}e d'axe $\{z = 0, |w| = 1\}$. \enddefinition \medskip \proclaim{Lemme 2} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a points critiques positifs. Si son bord est monotone, alors la surface $F$ est quasipositive. \endproclaim \demo{Preuve} On consid{\`e}re la boule $\Bbb B_1$ plong{\'e}e dans le bidisque $\Bbb D_{1} \times \Bbb D_{R} = \{ \vert z\vert \leq 1 , \vert w\vert \leq R \}$, pour une constante $R \gg 1$. On prolonge alors la surface $F$ jusqu'au bord du bidisque par les anneaux ${\{t\cdot p \, \vert \, p \in F\cap \Bbb S_1, t\geq 1 \}} \cap {\Bbb D_{1} \times \Bbb D_{R}}$. On appelle $\hat F$ la surface ainsi prolong{\'e}e. On peut toujours lisser $\hat F$ en utilisant une transformation radiale (i.e. de la forme $p \rightarrow \phi(\rho(p)) \cdot p$) dans un petit collier de $\partial \Bbb D_{1}$. Le r\'esultat est alors une surface ascendante \`a points critiques positifs. Le lemme 1 permet de suposer que $\hat F$ est symplectique pour la forme symplectique standard sur $\Bbb{C}^2$. Soit $\varpi_{\varepsilon}$ la forme de Fubini-Study (renormalis\'ee) sur $\Bbb C \times \Bbb{C}\Bbb{P}^{1} = \{(z,w) \vert z\in \Bbb C$ et $w \in \Bbb C \cup \{\infty\} \}$, donn{\'e}e dans $\Bbb{C}^{2}$ par : $$ \varpi_{\varepsilon} = i/2\{dz\wedge d\bar z + (dw\wedge d\bar w)/(1+ \varepsilon \vert w \vert^2)^{2}\}.$$ On v{\'e}rifie facilement que pour une constante $0<\varepsilon \ll 1$, la surface $\hat F$ est symplectique pour la forme $\varpi_{\varepsilon}$. Comme $\partial \hat F$ est monotone, il est positivement transverse, dans $\partial \Bbb D_{1} \times \Bbb C$, aux droites $\{z = a\}_{|a| = 1}$. Donc, d'apr{\`e}s Gromov \cite {\refGro} il existe sur $\Bbb C \times \Bbb{C}\Bbb{P}^{1}$ une structure presque complexe $\Cal J$, mod{\'e}r{\'e}e pour la forme symplectique $\varpi_{\varepsilon}$, et pour laquelle la surface symplectique $\hat F$ et la famille de droites $\{z = a\}_{|a| = 1}$ sont pseudo-holomorphes. De plus la famille de droites pseudo-holomorphes $\{z = a\}_{|a| = 1}$ s'{\'e}tend en un fibr{\'e} en droites projectives pseudo-holomorphes $\pi : \Bbb{D}_{1} \times \Bbb{C}\Bbb{P}^{1} \to \Bbb{D}_{1}$. Les r{\'e}sultats de Micallef et White \cite {\refMW} montrent alors que la surface $\hat F$, et donc la surface $F$, est quasipositive. On peut aussi, en travaillant un peu, se ramener au cas o\`u les contacts avec les fibres sont quadratiques; ils sont alors positifs d'apr\`es D. McDuff \cite {\refMc}.\qed \enddemo \medskip \demo{Preuve de la Proposition} Soit $F\subset \Bbb B_1$ une surface ascendante \`a points critiques positifs. D'apr{\'e}s D. Bennequin \cite {\refBen} (cf. aussi \cite {\refDou}), il existe une isotopie ascendante de l'entrelacs $L_1 = F\cap \Bbb S_1$, orient{\'e} par l'orientation induite de celle de $F$, {\`a} une tresse ferm{\'e}e $L_2$. Il existe donc une famille {\`a} un param{\`e}tre $\{L_t\}_{t\in [1,2]}$ d'entrelacs ascendants telle que $L_1 = F\cap \Bbb S_1$ et que $L_2$ est monotone. Apr\`es avoir liss\'e la surface $F' = F\cup \Big( \bigcup_{t\in [1,2]}t\cdot L_t \Big)$ comme dans la preuve du Lemme 2, on obtient une surface ascendante dans la boule $\Bbb B_2$, dont le bord $L_2 = F'\cap \Bbb B_2$ est monotone et ascendant. De plus tous les points critiques de la fonction $\rho\vert_{F'}$ sont contenus dans $F$ et donc positifs. Le Lemme 2 montre alors que la surface $F'$ est quasipositive. Comme les paires $(\Bbb B_1,F)$ et $(\Bbb B_2,F')$ sont diff\'eomorphes, la surface $F$ est quasipositive. \qed \enddemo \subhead 2. Preuve du th{\'e}or{\`e}me 2 \endsubhead D'apr{\'e}s Eliashberg \cite {\refEl}, il existe sur la boule $\Omega$ une structure presque complexe $\Cal J$, mod{\'e}r{\'e}e pour la forme symplectique $\omega$ et telle que:\roster \item "1)" la structure de contact $\xi$ sur le bord $\partial \Omega$ est donn{\'e} par le champs des tangentes complexes; \item "2)" la surface $F$ est $\Cal J$-holomorphe; \item "3)" il existe une fonction plurisous-harmonique $\phi: \Omega \to [0,1]$ telle que $\partial \Omega = \phi^{-1}(1)$ et ayant un seul point critique $p$ tel que $\phi(p) = 0$.\endroster En particulier, $\phi^{-1}(r^2)$, pour $0< r \leq 1$, est une sph{\`e}re munie d'une structure de contact tendue $\xi_{r,\Cal J}$. Le th{\'e}or{\`e}me de Gray \cite {\refGr} montre qu'il existe un diff{\'e}omorphisme $\Psi: \Omega \to \Bbb B_1$ tel que:\roster \item "1)" $\phi \circ \Psi = \rho^2$; \item "2)" $\Psi^{\star}\xi_{r,\Cal J}$ est la structure de contact standard sur la sph{\`e}re $\Bbb S_r$ donn{\'e}e par la 1-forme de contact $\alpha_r$.\endroster Alors la surface proprement plong{\'e}e $\Psi(F)$ est ascendante dans $\Bbb B_1$, et les points critiques de la fonction $\rho_{\vert \Psi(F)\vert}$ sont positifs car $F$ est $\Cal J$-holomorphe dans $\Omega$. On peut donc appliquer la Proposition du $\S1$.\qed \bigskip Les auteurs remercie le rapporteur pour la pertinence de ses corrections et suggestions, qui ont permis d'am\'eliorer ce texte. \Refs\nofrills{ Bibliographie } \ref\no[\refBen] \by D.~Bennequin \paper Entrelacements et Equations de Pfaff \inbook Third Schnepfenried geometry conference, Vol. 1 (Schnepfenried, 1982) \pages 87--161 \bookinfo Ast\'erisque, 107-108 \publ Soc. Math. 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