QUASIPOSITIVITÉ D’UNE COURBE ANALYTIQUE DANS UNE BOULE PSEUDO-CONVEXE.

M. Boileau and S. Orevkov

Novembre, 2000

Resumé Une tresse quasipositive est un produit de conjugués des générateurs standards du groupe des tresses. Un entrelacs dans 𝕊^{3} est quasipositif s’il est isotope à la fermeture d’une tresse quasipositive. Dans cette note nous montrons que le bord d’un morceau de courbe analytique dans une boule pseudo-convexe est un entrelacs quasipositif. Ce résultat était conjecturé par Lee Rudolph.

Quasipositivity of an analytic curve in a pseudoconvex 4-ball

Abstact A quasipositive braid is any product of conjugates of the standard generators of the braid group, and a quasipositive link in 𝕊^{3} is isotopic to the closure of quasipositive braid. In this note we prove that the boundary of an analytic curve in a pseudoconvex 4-ball is a quasipositive link. It was conjectured by Lee Rudolph.

Abridged english version.

L. Rudolph [12] has proved that a quasipositive oriented surface, properly embedded in the standard unit ball 𝔹_{1} = {|z|^{2} + |w|^{2} ≤ 1} ⊂ ℂ^{2}, is diffeomorphic to a smooth piece of an analytic curve.

Definition. A quasipositive oriented surface in the bidisk D = 𝔻_{1}^{2} × 𝔻_{2}^{2} = {|z| ≤ 1, |w| ≤ 1} is a proper smooth embedding ι : (F, ∂F) → (D, ∂𝔻_{1}^{2} × 𝔻_{2}^{2}) such that:

(1) pr_{1} ∘ι : (F, ∂F) → (𝔻_{1}^{2}, ∂𝔻_{1}^{2}) is a simple branched covering, without branching point on the boundary;

(2) the projection pr_{1} ∘ ι is orientation preserving outside the branching points, when 𝔻_{1}^{2} ⊂ ℂ is endowed with the complex orientation;

(3) the projection pr_{2} preserves the given orientation on F (when 𝔻_{2}^{2} ⊂ ℂ is endowed with the complex orientation) in the neighborhoods of the branching points of pr_{1}.

An oriented smooth surface (F, ∂F) ↪ (B^{4}, ∂B^{4}), properly embedded in a 4-ball B^{4} is said quasipositive if there is a diffeomorphism of B^{4} on the bidisk D (after smoothing the corners) that maps F to a quasipositive surface in D.

In this note we prove the converse of Rudolph’s theorem:

Theorem 1. Let F ↪ 𝔹_{1} be a smooth piece of analytic curve, properly embedded in the unit standard ball 𝔹_{1} ⊂ ℂ^{2} and transverse to ∂𝔹_{1}. Then, the surface F with the induced complex orientation is quasipositive.

The proof of theorem 1 follows almost immediatly from Gromov’s theory of pseudoholomorphic lines [7] and Bennequin’s theorem [1] which claims that any oriented link positively cutting the standard contact structure on 𝕊^{3} is isotopic (through an isotopy transverse to the standard contact structure on 𝕊^{3}) to a closed braid.

Using Eliashberg’s theorem [4] on the existence of a pluri-subharmonic function with a single critical point on a pseudoconvex symplectic 4-ball, we extend theorem 1 to a symplectic surface in a symplectic pseudoconvex 4-ball.

We recall that a symplectic structure on a smooth oriented 4-manifold is given by a nondegenerate closed 2-form ω: ω ∧ ω > 0. A properly embedded oriented surface F in a symplectic 4-manifold is symplectic if the restriction ω|_{F} > 0.

A contact structure ξ on a smooth oriented 3-manifold M^{3} is a C^{∞} tangent plane field ξ = ker α, for a 1-form α such that α ∧ dα ≠ 0. The contact structure is said convexe if α ∧ dα > 0.

An oriented link L, smoothly embedded in M^{3} is ascending for the contact structure ξ = ker α if the restriction α|_{L} > 0

Theorem 2. Let Ω be diffeomorphic to a 4-ball and ω a symplectic structure on Ω. Let us assume that ∂Ω admits a convex contact structure ξ such that ω|_{ξ} > 0. Let (F, ∂F) ↪ (Ω, ∂Ω) be an oriented smooth properly embedded symplectic surface. If the boundary ∂F, with the induced orientation, is ascending for the contact structure ξ, then F is a quasipositive surface.

In particular Theorem 1 remains true if we replace the unit ball 𝔹_{1} by a pseudo-convex ball in ℂ^{2}.

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Introduction.

Un entrelacs orienté L est une réunion finie de cercles orientés, disjoints, plongés de façon lisse dans la sphère 𝕊^{3}. Il est dit quasipositif s’il admet une représentation sous la forme d’une tresse fermée, pour laquelle le mot dans le groupe des tresses est équivalent à un produit de conjugués des générateurs standards.

L. Rudolph [12] a montré que tout entrelacs quasipositif peut-être obtenu comme l’intersection transverse d’une courbe algébrique dans ℂ^{2} avec le bord de la boule unité standard 𝔹_{1} = {|z|^{2} + |w|^{2} ≤ 1}.

Le but principal de cette note est de démontrer la réciproque du théorème de Rudolph, qui permet de caractériser le bord d’une courbe analytique dans une boule pseudo-convexe comme entrelacs quasipositif. Ce résultat avait été conjecturé par Lee Rudolph [12].

Pour énoncer de façon précise nos résultats, nous utilisons la notion suivante:

Définition. Une surface orientée quasipositive dans le bidisque D = 𝔻_{1}^{2} × 𝔻_{2}^{2} = {|z| ≤ 1, |w| ≤ 1} est un plongement propre et lisse ι : (F, ∂F) → (D, ∂𝔻_{1}^{2} × 𝔻_{2}^{2}) tel que:

(1) pr_{1} ∘ ι : (F, ∂F) → (𝔻_{1}^{2}, ∂𝔻_{1}^{2}) est un revêtement ramifié simple, sans point de ramification au bord;

(2) la projection pr_{1} ∘ ι respecte l’orientation en dehors des points de ramification, lorsque l’on munit 𝔻_{1}^{2} ⊂ ℂ de l’orientation complexe;

(3) la projection pr_{2} respecte l’ orientation donnée de F (lorsque l’on munit 𝔻_{2}^{2} ⊂ ℂ de l’orientation complexe) au voisinage des points de ramifications de pr_{1}.

Une surface orientée lisse (F, ∂F) ↪ (B^{4}, ∂B^{4}), proprement plongée dans une boule B^{4}, est dite quasipositive s’il existe un difféomorphisme de B^{4} sur le bidisque D (aprés lissage des coins), qui envoie F sur une surface quasipositive dans D.

Remarque. Un entrelacs orienté L ⊂ ∂B^{4} est quasipositif si et seulement s’il borde, avec l’orientation induite, une surface quasipositive dans la boule B^{4}. Les résultats de Kronheimer et Mrowka [8] et de L. Rudolph [12] montrent que la caractéristique d’Euler de la surface quasipositive est alors déterminée par l’entrelacs L, mais pas son plongement à isotopie prés.

Dans [12], L. Rudolph a montré qu’une surface orientée quasipositive et proprement plongée dans la boule unité 𝔹_{1} ⊂ ℂ^{2} est difféomorphe, par un difféomorphisme ambiant, à un morceau compact et lisse de courbe analytique. Nous démontrons la réciproque:

Théorème 1. Soit F ↪ 𝔹_{1} un morceau lisse de courbe analytique, proprement plongé dans la boule unité standard 𝔹_{1} ⊂ ℂ^{2} et transverse à ∂𝔹_{1}. Alors, la surface F orientée par l’orientation complexe est quasipositive.

La preuve de ce théorème découle directement de la théorie des courbes pseudoholomorphes, due à Gromov [7], et d’un théorème de Bennequin [1] qui montre qu’un entrelacs orienté, rencontrant transversalement et positivement la structure de contact standard de 𝕊^{3}, peut être isotopé (par une isotopie transverse à la structure de contact standard de 𝕊^{3}) en une tresse fermée.

Une conséquence du théorème de Rudolph [12] et du théorème 1 est de caractériser topologiquement les morceaux lisses de courbes analytiques, proprement plongés dans la boule 𝔹_{1} et transverses à son bord, comme les surfaces quasipositives dans cette boule.

On rappelle qu’une structure symplectique sur une variété orientée lisse de dimension 4 est donnée par une 2-forme fermée ω, qui n’est pas dégénérée: ω ∧ω > 0. Une surface orientée F, proprement plongée dans une variété symplectique, est dite symplectique si la restriction de ω à F est positive: ω|_{F} > 0.

Une structure de contact ξ sur une variété orientée lisse M^{3} de dimension 3 est un champs C^{∞} de plans tangents ξ = ker α, pour une 1-forme α telle que α∧dα ≠ 0. La structure de contact est dite convexe si α ∧ dα > 0.

Un entrelacs orienté L lisse, plongé dans M^{3} est dit ascendant pour la structure de contact ξ = ker α si α|_{L} > 0.

Le théorème 1 peut être généralisé dans une boule symplectique Ω de dimension 4 et à bord strictement pseudoconvexe, grace au théorème d’Eliashberg [4] qui assure l’existence d’une fonction plurisous-harmonique avec un seul point critique sur Ω.

Théorème 2. Soient Ω difféomorphe à la boule B^{4} et ω une structure symplectique sur Ω. On suppose que ∂Ω est muni d’une structure de contact convexe ξ telle que ω|_{ξ} > 0. Soit (F, ∂F) ↪ (Ω, ∂Ω) une surface orientée, symplectique, lisse et proprement plongée. Si le bord ∂F, muni de l’orientation induite, est ascendant pour la structure de contact ξ, alors F est une surface quasipositive.

En particulier, le théorème 1 reste vrai si on remplace la boule unité 𝔹_{1} par une boule pseudo-convexe dans ℂ^{2}.

Soit P_{L}(v, x) ∈ ℂ[v^{±1}, x^{±1}] le polynôme HOMFLY de l’entrelacs orienté L ⊂ 𝕊^{3}. C’est un polynôme de Laurent à 2 variable, défini récursivement par (cf. [11]):

(i) P_{O}(v, x) = 1 pour le noeud trivial O; (ii) P_{L_{+}}(v, x) = vxP_{L_{0}}(v, x) + v^{2}P_{L_{−}}(v, x), où L_{+}, L_{−} et L_{0} sont trois entrelacs

orientés dont les projections sont identiques, excepté en un seul croisement, comme dans la relation skein usuelle.

On désigne alors par Ord_{v} P_{L} la valuation en v de P_{L}(v, x), considéré comme un polynôme de Laurent en v et à coéfficients dans ℂ[x^{±1}].

L’inégalité suivante est une conséquence facile du Théorème 2 et de l’inégalité de Frank-Williams [5] et Morton [11] pour les tresses fermées (cf. [2]):

Corollaire 1. Sous les hypothèses du théorème 2 , on a l’inégalité:

Ord_{v} P_{∂F} ≥ 1 − χ(F). □

Comme conséquence du Théorème 2 et du théorème de Kronheimer et Mrowka [8], on obtient:

Corollaire 2. Sous les hypothèses du théorème 2 , toute surface orientée, lisse et proprement plongée (Σ, ∂Σ) ↪ (Ω, ∂Ω), telle que les entrelacs orientés ∂Σ et ∂F soient isotopes, vérifie l’inégalité:

χ(Σ) ≤ χ(F). □

1. Surfaces ascendantes et preuve du théorème 1.

Soit ℂ^{2} = {(z, w)| z ∈ ℂ, w ∈ ℂ}. On note ρ : ℂ^{2} → [0, +∞[ la fonction distance à l’origine, donnée par: ρ(z, w) = \sqrt{|z|^{2} + |w|^{2}}. La forme symplectique standard sur ℂ^{2} est donnée par:

(1) ω = i/2(dz ∧ dz̄ + dw ∧ dw̄) = 1/2(dη), où

(2) η = i/2((z · dz̄ − z̄ · dz) + (w · dw̄ − w̄ · dw)) = 1/2(d^{c}ρ^{2}).

Soit 𝔹_{r} = {|z|^{2} + |w|^{2} ≤ r^{2}}. La structure de contact standard sur 𝕊_{r} = ∂𝔹_{r} est donnée par α_{r} = η_{|𝕊_{r}}.

Définition 1. Une surface ascendante dans la boule unité 𝔹_{1} est une surface F orientée, lisse, proprement plongée, transverse au bord, qui évite l’origine et telle que:

(i) ρ|_{F} est une fonction de Morse; (ii) ∀r ∈]0, 1], F ∩ 𝕊_{r} est ascendant: i.e. (dρ ∧ η)|_{F} > 0 en tout point régulier

de la fonction ρ|_{F}.

L’affirmation suivante découle immédiatement de la définition d’une surface ascendante:

Affirmation. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante. Si p ∈ F est un point critique de la fonction ρ|_{F}, alors T_{p}F = ker α_{r}, où r = ρ(p); c’est à dire que T_{p}F est un plan complexe. □

Définition 2. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante. Un point critique p ∈ F de la fonction ρ|_{F} est dit positif si l’orientation de T_{p}F coïncide avec l’orientation complexe.

Si tous les points critiques de la fonction ρ|_{F} sont positifs, la surface F est dite ascendante à points critiques positifs.

Un morceau lisse de courbe analytique, proprement plongé dans la boule unité et qui évite l’origine, est une surface ascendante à points critiques positifs. Comme on peut toujours perturber une courbe analytique pour lui faire éviter l’origine, le théorème 1 est une conséquence immédiate de la proposition suivante:

Proposition. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante à points critiques positifs, alors F est une surface quasipositive.

La preuve de cette proposition découle des deux lemmes suivants:

Lemme 1. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante à points critiques positifs. Alors il existe une constante a > 0 suffisamment grande, telle que la surface f_{a}(F) ⊂ 𝔹_{e^{a}} est symplectique, où l’application f_{a} : 𝔹_{1} − {0} → 𝔹_{e^{a}} − {0} est définie par f_{a}(p) = exp(aρ(p)) · p.

Preuve. Soit ω = 1/2(dη) la forme symplectique standard sur ℂ^{2}. On veut montrer que pour a > 0 suffisamment grand ω|_{f_{a}(F)} > 0, c’est à dire que f_{a}^{⋆}(ω)|_{F} > 0. Un calcul élémentaire montre que:

f_{a}^{⋆}(ω)|_{F} = i/2(d(e^{aρ}z) ∧ d(e^{aρ}z̄) + d(e^{aρ}ω) ∧ d(e^{aρ}ω̄)) = e^{2aρ}(ω + a dρ ∧ η).

Puisque F est une surface ascendante dans 𝔹_{1}, (dρ∧η)|_{F} > 0 aux points réguliers de ρ|_{F}. La preuve du Lemme 1 découle alors du fait que ω|_{T_{p}F} > 0 aux points critiques de ρ|_{F}, puisque ceux-ci sont positifs par hypothèse. □

Définition 3. Un entrelacs orienté L ⊂ 𝕊_{1} est dit monotone si d(arg z)|_{F} > 0. De façon équivalente, un tel entrelacs est sous forme de tresse fermée d’axe {z = 0, |w| = 1}.

Lemme 2. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante à points critiques positifs. Si son bord est monotone, alors la surface F est quasipositive.

Preuve. On considère la boule 𝔹_{1} plongée dans le bidisque 𝔻_{1} × 𝔻_{R} = {|z| ≤ 1, |w| ≤ R}, pour une constante R ≫ 1. On prolonge alors la surface F jusqu’au bord du bidisque par les anneaux {t · p | p ∈ F ∩ 𝕊_{1}, t ≥ 1}∩𝔻_{1} × 𝔻_{R}. On appelle F̂ la surface ainsi prolongée. On peut toujours lisser F̂ en utilisant une transformation radiale (i.e. de la forme p → ϕ(ρ(p)) · p) dans un petit collier de ∂𝔻_{1}. Le résultat est alors une surface ascendante à points critiques positifs. Le lemme 1 permet de suposer que F̂ est symplectique pour la forme symplectique standard sur ℂ^{2}.

Soit ϖ_{ε} la forme de Fubini-Study (renormalisée) sur ℂ × ℂℙ^{1} = {(z, w)|z ∈ ℂ et w ∈ ℂ ∪ {∞}}, donnée dans ℂ^{2} par :

ϖ_{ε} = i/2{dz ∧ dz̄ + (dw ∧ dw̄)/(1 + ε|w|^{2})^{2}}.

On vérifie facilement que pour une constante 0 < ε ≪ 1, la surface F̂ est symplectique pour la forme ϖ_{ε}.

Comme ∂F̂ est monotone, il est positivement transverse, dans ∂𝔻_{1} × ℂ, aux droites {z = a}_{|a|=1}. Donc, d’après Gromov [7] il existe sur ℂ × ℂℙ^{1} une structure presque complexe J, modérée pour la forme symplectique ϖ_{ε}, et pour laquelle la surface symplectique F̂ et la famille de droites {z = a}_{|a|=1} sont pseudo-holomorphes. De plus la famille de droites pseudo-holomorphes {z = a}_{|a|=1} s’étend en un fibré en droites projectives pseudo-holomorphes π : 𝔻_{1} × ℂℙ^{1} → 𝔻_{1}.

Les résultats de Micallef et White [10] montrent alors que la surface F̂, et donc la surface F, est quasipositive. On peut aussi, en travaillant un peu, se ramener au cas où les contacts avec les fibres sont quadratiques; ils sont alors positifs d’après D. McDuff [9]. □

Preuve de la Proposition. Soit F ⊂ 𝔹_{1} une surface ascendante à points critiques positifs. D’aprés D. Bennequin [1] (cf. aussi [3]), il existe une isotopie ascendante de l’entrelacs L_{1} = F ∩ 𝕊_{1}, orienté par l’orientation induite de celle de F, à une tresse fermée L_{2}. Il existe donc une famille à un paramètre {L_{t}}_{t∈[1,2]} d’entrelacs ascendants telle que L_{1} = F ∩ 𝕊_{1} et que L_{2} est monotone.

Après avoir lissé la surface F′ = F ∪ ( ⋃_{t∈[1,2]} t · L_{t}) comme dans la preuve du Lemme 2, on obtient une surface ascendante dans la boule 𝔹_{2}, dont le bord L_{2} = F′ ∩ 𝔹_{2} est monotone et ascendant. De plus tous les points critiques de la fonction ρ|_{F′} sont contenus dans F et donc positifs.

Le Lemme 2 montre alors que la surface F′ est quasipositive. Comme les paires (𝔹_{1}, F) et (𝔹_{2}, F′) sont difféomorphes, la surface F est quasipositive. □

2. Preuve du théorème 2.

D’aprés Eliashberg [4], il existe sur la boule Ω une structure presque complexe J, modérée pour la forme symplectique ω et telle que:

1) la structure de contact ξ sur le bord ∂Ω est donné par le champs des tangentes complexes;

2) la surface F est J -holomorphe;

3) il existe une fonction plurisous-harmonique ϕ : Ω → [0, 1] telle que ∂Ω = ϕ^{−1}(1) et ayant un seul point critique p tel que ϕ(p) = 0.

En particulier, ϕ^{−1}(r^{2}), pour 0 < r ≤ 1, est une sphère munie d’une structure de contact tendue ξ_{r,J}.

Le théorème de Gray [6] montre qu’il existe un difféomorphisme Ψ : Ω → 𝔹_{1} tel que:

1) ϕ ∘ Ψ = ρ^{2};

2) Ψ^{⋆}ξ_{r,J} est la structure de contact standard sur la sphère 𝕊_{r} donnée par la 1-forme de contact α_{r}.

Alors la surface proprement plongée Ψ(F) est ascendante dans 𝔹_{1}, et les points critiques de la fonction ρ_{|Ψ(F)|} sont positifs car F est J -holomorphe dans Ω. On peut donc appliquer la Proposition du §1. □

Les auteurs remercie le rapporteur pour la pertinence de ses corrections et suggestions, qui ont permis d’améliorer ce texte.

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Laboratoire Émile Picard, CNRS UMR 5580, Université Paul Sabatier, 118 Route de Narbonne, F-31062 TOULOUSE Cedex 4, France

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