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%%%TIKZ
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\title{Fonctions et Applications}

%\author{Bérénice Delcroix-Oger \and Ralph Matthes \and Martin Strecker}
\institute{Université de Toulouse}
\date{Année 2020/2021} 


\begin{document}

%======================================================================

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}


%======================================================================

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Introduction à la notion d'ensembles}

%\begin{frame}
%\begin{center}
%\textcolor{magenta}{{\huge \sc Fonctions et applications}}
%\end{center}
%\end{frame}


\subsection{Premières notions}

%-------------------------------------------------------------


\begin{frame}
\frametitle{ Notion de fonction}

\begin{block}{Fonction}
Une \define{fonction} $f:E\longrightarrow F$ (de $E$ dans $F$) est définie par un sous-ensemble de $G_f\subseteq E\times F$ tel que pour tout $x\in E$, il existe au plus un $y\in F$ tel que $(x,y)\in G_f$, on note y=f(x).
\end{block}

\textbf{Exemple 1:}

Soit $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$.

On définit la fonction $f$ par le graphe:
$$G_f=\{(1,a),(2,c),(4,a)\}\subset E\times F$$
\vspace{-0.4cm}
Autrement dit

\begin{footnotesize}
$$\begin{array}{rccc}
f&:E&\longrightarrow & F\\
 &1&\longmapsto &a\\
 &2&\longmapsto &c\\
 &4&\longmapsto &a\\
 
\end{array}$$
\end{footnotesize}

\textbf{Exemple 2:}

 $H=\{(1,a),(2,c),(4,a),(1,b)\}\subset E\times F$ n'est pas le graphe d'une fonction

\end{frame}


%%%

%%%
\begin{frame}
\frametitle{Comment définir une fonction}
\begin{itemize}
 \item Table de valeur
 \item<2-> Diagramme de Venn
 \item<3-> Formule algébrique
 \item<4-> Courbe
 \item<5-> Algorithme
\end{itemize}
\begin{overlayarea}{12cm}{10cm}
\only<1>{
\vspace{-2cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{ascii}
\end{center}
}
\only<2>{
\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tikzstyle{fleche}=[|->,>=latex]

  \draw (0, 0) ellipse (4 and 2);
  \draw (0,-2) node[below]{{\normalsize $E$}};

\node (a) at (1.9, 0.1) {$\times$};
\node (b) at (1.2, 1) {$\times$};
\node (c) at (0.7, -1) {$\times$};
\node (d) at (-1.4, -0.4) {$\times$};
\node (e) at (-1.7, 0.8) {$\times$};
                                 
  \draw (a) node[above]{a};
  \draw (b) node[above]{b};
  \draw (c) node[above]{c};
  \draw (d) node[above]{d};  
  \draw (e) node[above]{e};  

  \draw (9, 0) ellipse (2 and 3);
  \draw (9,-3) node[below]{{\normalsize$F$}};
\node (aa) at (9.9, 2) {$\times$};
\node (bb) at (9, 1) {$\times$};
\node (cc) at (8.5, -1.4) {$\times$};
\node (dd) at (10, -0.4) {$\times$};

  \draw (aa) node[above]{1};
  \draw (bb) node[above]{2};
  \draw (cc) node[above]{3};
  \draw (dd) node[above]{4};  

\path[fleche] (a) edge (bb);
\path[fleche] (b) edge (aa);
\path[fleche] (c) edge (dd);
\path[fleche] (d) edge[bend right=20] (cc);
\path[fleche] (e) edge[bend left=20] (aa);


\end{tikzpicture}
\end{footnotesize}
\end{center}
}
\only<3>{\[
\begin{array}{rccc}
 f:&\R&\longrightarrow&\R\\
 &x&\longmapsto & 3x^2+2x-5
\end{array}
\]
}
\only<4>{
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\begin{axis}[enlarge x limits=false]
\addplot[mark=none] coordinates { (0,2.6) (1,2.5) (2,2.6) (3,2.3) (4,2.2) (5,2.3) (6,3.1) (7,3.3) (8,3.3) (9,3.8) (10,3.8) (11,4.2) (12,4.8) (13,5) (14,5.7) (15,6.2) (16,6.8) (17,7.1) (18,7.6) (19,7.7) (20,7.2) (21,6) (22,5.6) (23,6.3)};
 \end{axis} 
 \end{tikzpicture}
\end{center}
}
\only<5>{}

\end{overlayarea}

\end{frame}


%%%%


\begin{frame}
\frametitle{ Ensemble image}

\begin{block}{Ensemble image}
Soit $f:E\longrightarrow F$ une fonction de $E$ dans $F$.
\begin{description}
 \item[Image:]  $f(x)$ est l’\define{image} de $x$
 \item[Ensemble image de $A\subset E$:]
\begin{small}
  \begin{eqnarray*}
  f(A)&=&\{y\in F \textrm{ tel que }\exists x\in A\textrm{ vérifiant }f(x)=y \}\\
  &=&\{y\in F \textrm{ tel que }\exists x\in A\textrm{ vérifiant }(x,y)\in G_f \}
\end{eqnarray*}
\end{small}
 \vspace{-0.8cm}


 \item[Ensemble image de $f$:] 
 \[\textrm{Im}(f)=f(E)=\{y\in F : \textrm{ $\exists x\in E$ tel que $f(x)=y$}\}\]
\end{description}
\end{block}
\textbf{Exemple:}
\begin{footnotesize}

Soit $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$ et $f:E\to F$ définit par $G_f=\{(1,a),(2,c),(4,a)\}\subset E\times F$. On a:
$$f(\{1\})=\{a\}\qquad f(\{1,4\})=\{a\}\qquad f(\{3\})=\emptyset\qquad f(\{1,2,3\})=\{a,c\}$$

$$\textrm{Im}(f)=\{a,c\}$$
\end{footnotesize}

\end{frame}

%%%

\begin{frame}
\frametitle{Préimage}

\begin{block}{Ensemble image}
Soit $f:E\longrightarrow F$ une fonction de $E$ dans $F$.
\begin{description}
 \item[Antécédent:]   $x$ est  l’\define{antécedent} de $y$ si $y=f(x)$
 \item[Préimage de $B\subset F$:]
\begin{small}
  \begin{eqnarray*}
  f^{-1}(B)&=&\{x\in E \textrm{ tel que }\exists y\in B\textrm{ vérifiant }f(x)=y \}\\
  &=&\{x\in E \textrm{ tel que }\exists y\in B\textrm{ vérifiant }(x,y)\in G_f \}
\end{eqnarray*}
\end{small}
 \vspace{-0.8cm}

 \item[Domaine de définition de $f$:] 
  \[\textrm{Dom}(f)=f^{-1}(F)=\{x\in E : \textrm{ $\exists y\in F$ tel que $f(x)=y$} \}\]
\end{description}
\end{block}
\textbf{Exemple:}
\begin{footnotesize}

Soit $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$ et $f:E\to F$ définit par $G_f=\{(1,a),(2,c),(4,a)\}\subset E\times F$. On a:
$$f^{-1}(\{a\})=\{1,4\}\qquad f^{-1}(\{a,c\})=\{1,2,4\}\qquad f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \qquad f^{-1}(\{b\})=\emptyset$$

$$\textrm{Dom}(f)=\{1,2,4\}$$
\end{footnotesize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Application}
\begin{block}{Application}
Une fonction $f:E\to F$ est une application si $\textrm{Dom}(f)=E$.
\end{block}
\textbf{Exemple:}

$\bullet$ Soit $E=\{1,2,3,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$.

Le graphe $G=\{(1,a),(2,c),(4,a)\}\subset E\times F$ définit une fonction de $E$ dans $F$ mais pas une application. 

\vspace{0.6cm}

$\bullet$ Soit $E'=\{1,2,4\}$ et $F=\{a,b,c\}$.

Le graphe $G=\{(1,a),(2,c),(4,a)\}\subset E'\times F$ définit une fonction de $E'$ dans $F$ qui est une application de $E'$ dans $F$. 

\end{frame}

%%%

\begin{frame}
\frametitle{Composition}

\begin{block}{Composition}
La \define{fonction composée} de $f:E\to F$ par $g:F\to G$ est définie par 
\begin{eqnarray*}
&g\circ f (x)=g(f(x))&\\
&\textrm{Dom}(g\circ f)=\left\{x\in \textrm{Dom}(f) : f(x)\in\textrm{Dom}(g)\right\}&
\end{eqnarray*}

\end{block}

\begin{center}
\begin{tiny}
\begin{tikzpicture}[scale=0.29]
\tikzstyle{fleche}=[|->,>=latex]

  \draw (0, 0) ellipse (4 and 2);
  \node[below] (F) at (0,-3.5) {{\normalsize $F$}};

\node (a) at (1.9, 0.1) {$\times$};
\node (b) at (1.2, 1) {$\times$};
\node (c) at (0.7, -1) {$\times$};
\node (d) at (-1.4, -0.4) {$\times$};
\node (e) at (-1.7, 0.8) {$\times$};
                                 
  \draw (a) node[above]{$a$};
  \draw (b) node[above]{$b$};
  \draw (c) node[above]{$c$};
  \draw (d) node[above]{$d$};  
  \draw (e) node[above]{$e$};  

  \draw (9, 0) ellipse (2 and 3);
  \node[below] (G) at (9,-3.5) {{\normalsize$G$}};
\node (aa) at (9.9, 2) {$\times$};
\node (bb) at (9, 1) {$\times$};
\node (cc) at (8.5, -1.4) {$\times$};
\node (dd) at (10, -0.4) {$\times$};

  \draw (aa) node[above]{$1$};
  \draw (bb) node[above]{$2$};
  \draw (cc) node[above]{$3$};
  \draw (dd) node[above]{$4$};  

\path[fleche] (a) edge (bb);
\path[fleche] (b) edge (aa);
\path[fleche] (c) edge (dd);
\path[fleche] (d) edge[bend right=20] (cc);
\path[fleche] (e) edge[bend left=20] (aa);

  \draw (-9, 0) ellipse (1.5 and 3.5);
  \node[below] (E) at (-9,-3.5){{\normalsize $E$}};

\node (aaa) at (-8.5, 1) {$\times$};
\node (bbb) at (-10.2, -0.2) {$\times$};
\node (ccc) at (-8.7, -1.8) {$\times$};

                                 
  \draw (aaa) node[above]{$\alpha$};
  \draw (bbb) node[above]{$\beta$};
  \draw (ccc) node[above]{$\gamma$};

\path[fleche] (aaa) edge (b);
\path[fleche] (bbb) edge (a);
\path[fleche] (ccc) edge (d);

\path[->,>=latex] (E) edge node[above]{$f$} (F);
\path[->,>=latex] (F) edge node[above]{$g$} (G);
\path[->,>=latex] (E) edge[bend right=12] node[below]{$g\circ f$} (G);
\end{tikzpicture}
\end{tiny}
\end{center}
\vspace{-0.2cm}
\begin{exampleblock}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \item En général $f\circ g\ne g\circ f$.
 \item Associativité: $(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$.
\end{itemize}
\end{exampleblock}
\end{frame}

%%%

\begin{frame}
\frametitle{Injections}

\begin{block}{Fonction injective}
$f:E\to F$ est \define{injective} si tout $y\in F$ admet au plus un antécédent.
\begin{center}
 \textbf{Autrement dit:} $\forall x_1,x_2\in E$ on a $f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2$
\end{center}
\end{block}
\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\tikzstyle{fleche}=[|->,>=latex]

  \draw (0, 0) ellipse (4 and 2);
  \node[below] (F) at (0,-3.5) {{\normalsize $F$}};
  \draw (-9, 0) ellipse (1.5 and 3.5);
  \node[below] (E) at (-9,-3.5){{\normalsize $E$}};
  
\node (a) at (1.9, 0.1) {$\times$};
\node (b) at (1.2, 1) {$\times$};
\node (c) at (0.7, -1) {$\times$};
\node (d) at (-1.4, -0.4) {$\times$};
\node (e) at (-1.7, 0.8) {$\times$};
                                 
  \draw (a) node[above]{$a$};
  \draw (b) node[above]{$b$};
  \draw (c) node[above]{$c$};
  \draw (d) node[above]{$d$};  
  \draw (e) node[above]{$e$};  


\node (aaa) at (-8.5, 1) {$\times$};
\node (bbb) at (-10.2, -0.2) {$\times$};
\node (ccc) at (-8.7, -1.8) {$\times$};

                                 
  \draw (aaa) node[above]{$\alpha$};
  \draw (bbb) node[above]{$\beta$};
  \draw (ccc) node[above]{$\gamma$};

\path[fleche] (aaa) edge (b);
\path[fleche] (bbb) edge (a);
\path[fleche] (ccc) edge (d);

\path[->,>=latex] (E) edge node[above]{$f$} (F);
\end{tikzpicture}
\end{footnotesize}
\end{center}

\textbf{\underline{Exemple:}} Code ASCII, Code INSEE... 
\end{frame}

%%%

\begin{frame}
\frametitle{Surjections}
\begin{block}{Fonction surjective}
$f:E\to F$ est \define{surjective} si tout $y\in F$  admet au moins un antécédent.
 \begin{center}
\textbf{Autrement dit:}   $\textrm{Im}(f)=f(E)=F$. 
\end{center}
\end{block}

\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tikzpicture}[scale=0.46]
\tikzstyle{fleche}=[|->,>=latex]

  \draw (0, 0) ellipse (4 and 2);
  \node[below] (F) at (0,-3.5) {{\normalsize $E$}};

\node (a) at (1.9, 0.1) {$\times$};
\node (b) at (1.2, 1) {$\times$};
\node (c) at (0.7, -1) {$\times$};
\node (d) at (-1.4, -0.4) {$\times$};
\node (e) at (-1.7, 0.8) {$\times$};
                                 
  \draw (a) node[above]{$a$};
  \draw (b) node[above]{$b$};
  \draw (c) node[above]{$c$};
  \draw (d) node[above]{$d$};  
  \draw (e) node[above]{$e$};  

  \draw (9, 0) ellipse (2 and 3);
  \node[below] (G) at (9,-3.5) {{\normalsize$F$}};
\node (aa) at (9.9, 2) {$\times$};
\node (bb) at (9, 1) {$\times$};
\node (cc) at (8.5, -1.4) {$\times$};
\node (dd) at (10, -0.4) {$\times$};

  \draw (aa) node[above]{$1$};
  \draw (bb) node[above]{$2$};
  \draw (cc) node[above]{$3$};
  \draw (dd) node[above]{$4$};  

\path[fleche] (a) edge (bb);
\path[fleche] (b) edge (aa);
\path[fleche] (c) edge (dd);
\path[fleche] (d) edge[bend right=20] (cc);
\path[fleche] (e) edge[bend left=20] (aa);

\path[->,>=latex] (F) edge node[above]{$g$} (G);
\end{tikzpicture}
\end{footnotesize}
\end{center}
\end{frame}
%%%

\begin{frame}
\frametitle{Bijections}


\begin{block}{Application bijective}
$f:E\to F$ est une application \define{bijective} si tout $y\in F$  admet exactement un antécédent.
 \begin{center}
\textbf{Autrement dit:}  $f$ est une application  injective et surjective. 
\end{center}
\end{block}

\begin{center}
\begin{footnotesize}
\begin{tikzpicture}[scale=0.46]
\tikzstyle{fleche}=[|->,>=latex]

  \draw (0, 0) ellipse (4 and 2);
  \node[below] (F) at (0,-3.5) {{\normalsize $E$}};

\node (a) at (1.9, 0.1) {$\times$};
\node (b) at (1.2, 1) {$\times$};
\node (c) at (0.7, -1) {$\times$};
\node (d) at (-1.4, -0.4) {$\times$};
                                 
  \draw (a) node[above]{$a$};
  \draw (b) node[above]{$b$};
  \draw (c) node[above]{$c$};
  \draw (d) node[above]{$d$};  

  \draw (9, 0) ellipse (2 and 3);
  \node[below] (G) at (9,-3.5) {{\normalsize$F$}};
\node (aa) at (9.9, 2) {$\times$};
\node (bb) at (9, 1) {$\times$};
\node (cc) at (8.5, -1.4) {$\times$};
\node (dd) at (10, -0.4) {$\times$};

  \draw (aa) node[above]{$1$};
  \draw (bb) node[above]{$2$};
  \draw (cc) node[above]{$3$};
  \draw (dd) node[above]{$4$};  

\path[fleche] (a) edge (bb);
\path[fleche] (b) edge (aa);
\path[fleche] (c) edge (dd);
\path[fleche] (d) edge[bend right=20] (cc);

\path[->,>=latex] (F) edge node[above]{$g$} (G);
\end{tikzpicture}
\end{footnotesize}
\end{center}
\end{frame}
%%%

\begin{frame}
\frametitle{Bijections}

\begin{exampleblock}{Application réciproque}
 L'application $f:E\to F$ est bijective si et seulement si il existe une application $g:F\to E$ telle que $f\circ g=\textrm{Id}_F$ et $g\circ f=\textrm{Id}_E$.

Si $f$ est bijective, l'application $g$ est unique, c'est l'\define{application réciproque} de l'application $f$, notée $f^{-1}$.

\end{exampleblock}

\begin{exampleblock}{Composée de deux bijections}
  Soient $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux applications bijectives. La composée $g\circ f$ est bijective et  $$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$$

\end{exampleblock}

\end{frame}

%%%

\subsection{Quelques classes importantes de fonctions}


\begin{frame}
\frametitle{Suites}

 Soit $\K$ un ensemble, une \define{suite à valeurs dans $\K$} est une application de $\N$ dans $\K$. 
 
 \vspace{0.2cm}
 On note $\K^\N$ l'ensemble des suite à valeurs dans $\K$. 
  \vspace{0.2cm}

 Etant donnée une suite $u\in\K^\N$, on note souvent $u_n$ le $n^{\textrm{ème}}$ élément de la suite et $u=(u_n)_{n\in\N}$. 



\end{frame}
%%%

\begin{frame}
\frametitle{Fonctions caractéristiques}

\begin{block}{Fonctions caractéristiques}
  Soient $A\subseteq\Omega$ on définit la \define{fonction caractéristique} de l'ensemble $A$ par
 \[
\begin{array}{rccl}
 \mathbf{1}_A:&\Omega&\longrightarrow&\{0,1\}\\
 &x&\longmapsto& 
\begin{cases}
 1&\textrm{ si }x\in A\\
 0&\textrm{ si }x\notin A
\end{cases}
\end{array}
 \]
 \end{block}

\begin{exampleblock}{Propriétés}
   Soient $A,B\in\mathcal{P}(\Omega)$, pour tout $x\in\Omega$, on a:
\begin{itemize}
 \item $\mathbf{1}_{A\cap B}(x)=\mathbf{1}_A(x)\times\mathbf{1}_B(x)$
 \item $\mathbf{1}_{A\cup B}(x)=\mathbf{1}_A(x)+\mathbf{1}_B(x)-\mathbf{1}_{A\cap B}(x)$
 \item $\mathbf{1}_{\overline{A}}(x)=1-\mathbf{1}_A(x)$
\end{itemize}
\end{exampleblock}

\end{frame}
%%%
%%%


\end{document}

