Exercice : Angle droit ?
Soit \((E, \langle -, -\rangle)\) un espace euclidien. Soit \(p\) une projection de \(E\) sur \(F\). Soit \(v \in E\).
Question
En utilisant le résultat de l'activité précédente, montrer que \(p(v) \perp (v-p(v))\).
Indice
Il suffit de fixer une base orthonormée adaptée à la décomposition \(E = F \oplus F^\perp\) comme dans l'activité précédente.
Solution
En utilisant les notations de l'activité précédente, nous avons \(p(v) = \sum_{i=1}^m \langle v, e_i \rangle e_i\) et \(v-p(v) = \sum_{i=m+1}^n \langle v, e_i \rangle e_i\). Nous en déduisons donc facilement que \(p(v)\) et \(v-p(v)\) sont orthogonaux.
Question
Montrer maintenant l'égalité \(\|v\|^2 = \|p(v)\|^2+\|v-p(v)\|^2\).
Indice
Utiliser la question précédente qui assure que \(\langle p(v), v-p(v)\rangle = 0\).
Solution
Nous écrivons \(\|v\|^2 = \langle p(v) + (v-p(v)), p(v) + (v-p(v))\rangle^2\).
Il suffit ensuite de développer en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire :
\(\|v\|^2 = \langle p(v), p(v) \rangle^2 + 2\langle p(v), v-p(v)\rangle + \langle v-p(v), v-p(v) \rangle^2\).
Puisque nous avons alors \(\|v\|^2 = \|p(v)\|^2 + \|v-p(v)\|^2\).