Module Math3-Alg3.2 : Combinatoires, arithmétiques et graphes
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math1-Bases3 et Math3-Alg3
2 Objectif d'apprentissage
Le but du cours est de faire un tour d’horizon de différentes méthodes combinatoires autour de deux grands thèmes, la théorie des graphes et la théorie des nombres.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Théorie des nombres
- Nombres premiers: arithmétique élémentaire, décomposition en nombres premiers, crible, quelques idées sur la distribution des nombres premiers (théorème d’Euclide, inégalités de Tchebychev, exemple de suite arithmétique contenant une infinité de nombre premier).
- Equations diophantiennes: équation du type ax+by=c, triplets pythagoriciens, méthode de descente infini, entiers comme somme de quatre carrés.
- Fonctions arithmétiques: fonctions arithmétiques élémentaires, convolution de Dirichlet et inversion de Moebius et applications au calcul de la fonction d’Euler.
- Approximation diophantienne: théorème de Dirichlet, mesure d'irrationalité, théorème de Liouville, exemples de nombres transcendants
- Fractions continues
- Résidus quadratiques: Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.
3.2 Autres thèmes qui peuvent être abordés en théorie des nombres:
- Notion sur la théorie des partitions: fonctions génératrices, comportement asymptotique du nombre de partitions
- Série de Dirichlet et applications aux développements asymptotiques élémentaires de fonctions arithmétiques
- Formes quadratiques entières: Représentabilité d'un entier par une forme quadratique. Classes d'équivalence. Réduction.
- Géométrie des nombres: convexes et réseaux, théorèmes de Minkowski.
4 Références
- Éléments de théorie des graphes Alain Bretto, Alain Faisant, François Hennecart
- Graph Theory and application Jean Claude Fournier
- Théorie des Graphes J.A. Bondy et U.S.R. Murty
- Théorie Des Nombres. Daniel Duverney
- Introduction à la théorie des nombres Jean-Marie De Koninck Armel Mercier