Module Math2-AlgLin3* : Algèbre linéaire 3 avancé
Table of Contents
1 Prérequis
Module Math2-AlgLin2
2 Objectif d'apprentissage
Le but du module est une étude fine des propriétés de réduction des endomorphismes dans divers contextes ainsi qu'une introduction aux groupes géométriques.
3 Descriptions des enseignements
3.1 Espaces euclidiens
- Produits scalaires et normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie
- Coordonnées dans une base orthonormée, inégalité de Cauchy–Schwarz
- Algorithme de Gram–Schmidt et existence de bases orthonormées
- Orthogonalité de sous-espaces et somme directe orthogonale
3.2 Endomorphismes des espaces euclidiens
- Isométries d'un espace euclidien et matrices orthogonales
- Forme réduite d'une isométrie et d'une matrice orthogonale
- classification en dimensions 2 et 3
- Adjoint d'un endomorphisme et transposition, endomorphismes autoadjoints
- Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques
- Endomorphismes autoadjoints positifs et décomposition polaire
- Décomposition en valeurs singulières et applications (Horn, 2.6)
3.3 Espaces hermitiens
- Produit scalaire hermitien
- Isométries d'un espace hermitien et matrices unitaires
- Endomorphismes autoadjoints, matrices hermitiennes et théorème spectral
3.4 Formes quadratiques dans les espaces euclidiens
- Formes bilinéaires : définition, formes symétriques et leur représentation matricielle
- Formes quadratiques, forme polaire
- Signature des formes quadratiques
- Algorithme de Gauss pour la réduction
- Diagonalisation en base orthonormée, calcul effectif en dimension 2
3.5 Groupes géométriques
- Rudiments de théorie des groupes (groupe, sous-groupe, morphisme, sous-groupe engendré et partie génératrice) en illustrant avec les groupes linéaire GL et spécial linéaire SL (à définir)
- Groupes orthogonaux et unitaires de formes définies positives
3.6 Références
- Grifone, Algèbre linéaire
- Horn, Matrix analysis
- Szpirglas, Mathématiques L3 Algèbre