Surfaces

Le tore est facteur


Arnaud Chéritat


Mathématicien
C.N.R.S. / Institut de Mathématiques de Toulouse

Le tore



guides
Maryam Mirzakhani (1977–2017),
chercheuse en mathématiques,
spécialiste des surfaces

récompensée pour ses travaux
par la Médaille Fields 2014
Les prix Nobel existent depuis 1901 mais il n'y a pas de prix pour les mathématiques.

Depuis 1936 existe la médaille Fields pour les mathématiques, réservée aux moins de 40 ans, décernée tous les 4 ans à 2, 3 ou 4 personnes.

De 1936 à 2018 elle a récompensée 60 personnes dont une seule femme (Maryam Mirzakhani en 2014).

© AFP
Depuis 2001 existe également le prix Abel en mathématiques, décerné tous les ans. Il a récompensé 24 personnes dont 1 femme (Karen Uhlenbeck en 2019).

Niels Henrik Abel (1802-1829)

Topologie

La topologie étudie (entre autres) les déformations possibles entre objets.
Pour les topologues : cube = sphère tasse = tore mug = donut
Animation de droite : Wikipedia.
La classification des formes est une branche de la topologie.
Genre 0 Genre 1Genre 2Genre 3 …
Règles : on peut déformer mais pas déchirer ni coller
auto-intersections autorisées
Théorème : Toute surface* fait partie
d'une des catégories ci-dessus.
Théorème (Euler). Étant donnée une décomposition polygonale d'une surface fermée :
genre = (2 + arêtes − faces − sommets) ÷ 2

0 = (2 + 30a − 12f − 20s) ÷ 2

2 = (2 + 100a − 50f − 48s) ÷ 2

faces = 36×12 = sommets,
arêtes = 2× faces

1 = (2 + 2×432a − 432f − 432s) ÷ 2

Le genre est une propriété intrinsèque


Homéomorphisme
Homéomorphisme
Une opération topologique : la somme connexe.


Classification des surfaces closes

Notations :

S — la sphère
T — le tore

S,   T,   T+T,   T+T+T,   T+T+T+T,   …


Ken_Lecoq, Pixabay,
libre de droits
Ainsi pour presque toute surface,
le tore… est facteur.
« Un mathématicien est un appareil qui transforme le café en théorèmes »

Alfréd Rényi
(mathématicien hongrois)

Surfaces mondes

© 1996-2011 N. Landsteiner, mass:werk – media environments
https://www.masswerk.at

Exemple de planisphère


Respecte l'aire mais pas les distances.

Image : https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mollweide_projection_SW.jpg (CC BY SA Strebe).

Surfaces en tant qu'espaces de paramétrisation

Tiges articulées.

Applet 1

Applet 2

Surfaces plates

I. Billards

Pentagone
Salle des miroirs
Traverser les miroirs
Surface plate associée :

montrer le fichier seq.svg

Applet

Genre ?

10 pentagones, 25 segments, 5 sommets

genre = (2+25-10-5)/2 = 6

Merci Euler.

II. Tores plats

Image de la chaise https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_chair_modern.svg (CC-By-SA Pk0001)

Image de la chaise https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_chair_modern.svg (CC-By-SA Pk0001)

Image de la chaise https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_chair_modern.svg (CC-By-SA Pk0001)

Image de la chaise https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_chair_modern.svg (CC-By-SA Pk0001)


domaine fondamental

Un théorème de Mirzakhani

Applet
Géométrie plate

Il était connu que l'ensemble de toutes les surfaces plates closes de genre g forme un espace à 8g-6 dimensions si g≥2.

Sur cet espace ont été introduits des systèmes dynamiques, correspondant à déformer ces surfaces d'une certaine façon. Mirzakhani a démontré un théorème limitant le caractère chaotique de ces systèmes dynamiques.