Les 1001 facettes des surfaces


Arnaud Chéritat


Mathématicien
CNRS / Inst. de Math. de Toulouse

Qu'est-ce qu'une surface ?

À qui posez-vous la question ?

I. Pour le/la linguiste

Définition et étymologie du mot.
(Trésor Informatisé de la Langue Française)

SURFACE, subst. fém.
A. — 1. Partie extérieure d'un corps, d'un objet, qui circonscrit le volume occupé par celui-ci. Surface du globe terrestre, de la lune; surface d'un meuble, d'une statue; surface d'un organe, d'un os, du corps humain. La mousse et le salpêtre des mers rongeaient la surface du bronze antique (CHATEAUBR., Mém., t. 1, 1848, p. 264). Plus un être est petit, plus le rapport surface-volume (ou poids) est grand (J.-M. PÉRÈS, Vie océan, 1966, p. 27).
2. En partic.
a) Face apparente, extérieure ou supérieure, partie visible d'un corps, d'une chose; face limitant un solide. Surface brillante, raboteuse, unie; surface glacée d'une photographie; surface froide du marbre; papier à surface grossière; surface d'une plaie; peindre la surface intérieure et extérieure d'un coffre. Il eut beau promener sa torche sur toute la surface extérieure de la grotte, il ne vit rien (DUMAS père, Monte-Cristo, t. 1, 1846, p. 415). La surface du pain est merveilleuse d'abord à cause de cette impression quasi panoramique qu'elle donne: comme si l'on avait à sa disposition les Alpes (...) ou la Cordillière des Andes (PONGE, Parti pris, 1942, p. 23).
b) Étendue constituant la limite supérieure d'une masse. Rochers visibles à la surface du sol; surface ondulée d'une dune; surface des eaux, de la mer. Un fourré d'un vert froid (...) légèrement hérissé comme la surface barbue d'un champ d'épis (FROMENTIN, Été Sahara, 1857, p. 105). Longues surfaces blondes des coteaux marqués de grandes figures géométriques d'un noir de suie, car ils brûlent ici les chaumes avant de labourer (T'SERSTEVENS, Itinér. esp., 1933, p. 170).
c) Couche apparente et peu profonde. Toutes les espèces de roches s'y rencontrent [dans les Pyrénées] par bancs compacts mêlés ou alternés, mosaïques aux soubassements (...) insoupçonnés dont l'œil n'aperçoit qu'une surface infime (PESQUIDOUX, Livre raison, 1925, p. 175). Les paléontologistes n'ont exploré qu'une surface infime de la croûte terrestre (J. ROSTAND, La Vie et ses probl., 1939, p. 163).
d) Absol. Sol (par opposition au sous-sol, aux régions souterraines). Mineur, spéléologue qui remonte à la surface. Un fleuve qui, après avoir quelque temps caché ses eaux sous la terre, reparaît à la surface (P. LEROUX, Humanité, 1840, p. 328). Tout le bassin minier d'Alsace offre ainsi un paysage (...) de petites agglomérations urbaines trouant la forêt, et composées (...) des installations de surface de la mine et (...) de petites maisons entourées de jardins (Industr. fr. engrais chim., 1956, p. 9).
3. Étendue horizontale qui sépare l'atmosphère d'une nappe d'eau, d'un volume de liquide. Surface de la mer; surface gelée d'un étang; bulles qui éclatent à la surface d'un moût. La solution aqueuse de ce savon ne présente point à sa surface de pellicule grasse (KAPELER, CAVENTOU, Manuel pharm. et drog., t. 2, 1821, p. 652). La pellicule de crème durcie à la surface d'un lait qu'on fait bouillir (VERCORS, Sil. mer, 1942, p. 71).
Absol. Plongeur qui reparaît à la surface; poissons qui nagent à la surface. De grands chevaines dormaient à la surface attiédie, faisant sur l'eau des taches noires (MOSELLY, Terres lorr., 1907, p. 214). Un vigoureux coup de talon me fit remonter à la surface et le patron du bateau-lavoir, qui avait sauté dans son bachot, nous repêcha (CENDRARS, Bourlinguer, 1948, p. 201).
Loc. adv. En surface. Au niveau de la surface de l'eau, en émergeant plus ou moins. Nager en surface; sous-marin qui navigue en surface. Le chien (...) et (...) Tobie (...) apparaissent luttant, (...) contre le poisson, tantôt plongeant, tantôt réapparaissant en surface (CLAUDEL, Tobie et Sara, 1940, II, 4, p. 1244).
Loc. adj. De surface. Qui se tient à la surface de l'eau. L'ablette est un poisson de surface. Les navires de guerre de surface allemands (...) seront immédiatement désarmés (FOCH, Mém., t. 2, 1929, p. 313).
Loc. verb.
Faire surface. [En parlant d'un sous-marin] Émerger. Grenadé par le croiseur, le sous-marin faisait surface (DE GAULLE, Mém. guerre, 1954, p. 116). [En parlant d'un animé] Remonter à l'air libre pour respirer, après être resté quelque temps sous l'eau. (Dict. XXe s.). Phoque, plongeur faisant surface.
P. métaph. ou au fig. [En parlant d'une pers.] Faire, refaire surface; remonter, revenir à la surface. (Faire) reprendre conscience (à quelqu'un) après un évanouissement, une anesthésie, un sommeil profond; (faire) reprendre (à quelqu'un) contact avec le réel après un passage à vide, une dépression. Synon. émerger. Au début de la vie, les plus fiers courages ne sont pas exempts d'abattement. Ce coup avait envoyé tout d'abord Lucien au fond de l'eau; mais il frappa du pied et revint à la surface, en se jurant de dominer ce monde (BALZAC, Illus. perdues, 1837, p. 105).
Réapparaître en public, faire de nouveau parler de soi, après un temps d'absence, d'oubli. Au temps de la révolution, la famille, ruinée et déchue, avait fait le plongeon dans la mare populaire. Maintenant, elle revenait à la surface (ROLLAND, J.-Chr., Buisson ard., 1911, p. 1312).
[En parlant de choses] Se manifester de nouveau. Tous les instincts (...) sont en vous, quoi que vous fassiez, plus ou moins obscurs, plus ou moins matés, mais ils sont, et ils peuvent remonter brusquement à la surface et bouleverser votre vie! (MARTIN DU G., J. Barois, 1913, p. 485). Quand les profondeurs obscures de l'âme sont remuées, ce qui monte à la surface et arrive à la conscience y prend, si l'intensité est suffisante, la forme d'une image ou d'une émotion (BERGSON, Deux sources, 1932, p. 243).
4. a) Étendue délimitée d'une certaine importance et généralement plane. Surface dallée, vitrée. La campagne s'étalait par grandes surfaces d'un vert monotone et froid (FLAUB., Bouvard, t. 1, 1880, p. 18). Mon roman avance lentement (...). Je pourrais couvrir une plus grande surface de papier chaque jour, mais alors j'inventerais et d'une certaine façon, je mentirais (GREEN, Journal, 1949, p. 310).
b) Étendue plane délimitée, considérée sous le rapport de sa mesure. Synon. superficie. Calculer la surface d'un rectangle; appartement de 100 m2 de surface; surface de vente d'un magasin; surface bâtie, boisée; manquer de surface. Ce parallélogramme, dont la surface cultivable est au moins de 67 920 lieues quarrées, se trouve sous les plus belles latitudes, depuis le 29e jusqu'au 45e degré (CREVECŒUR, Voyage, t. 3, 1801, p. 69). Si chaque habitant, dans la seule région parisienne, se voyait accorder le droit de construire (...) il faudrait d'ores et déjà « geler » trois fois la surface au sol de l'Ile-de-France (Elle, 5 sept. 1977, p. 35, col. 2).
B. — Au fig.
1. Apparence que présentent les personnes ou les choses. Synon. dehors, extérieur, façade. Ne connaître que la surface des événements. Ce qui me frappe, c'est d'abord le ton général du livre, cette férocité de passion sous une surface bonhomme (FLAUB., Corresp., 1874, p. 142). Goethe est le grand apologiste de l'apparence. Il donne à ce qui passe pour la surface des choses un intérêt et une valeur (VALÉRY, Variété IV, 1938, p. 110).
Loc. adv. À la surface, en surface. Sans aller au fond des choses, de façon superficielle. Traiter un problème en surface. Il paraissait à la baronne impossible qu'un homme si charmant à la surface pût nourrir contre elle de mauvais desseins (DUMAS père, Monte-Cristo, t. 2, 1846, p. 236). Leurs esprits si différents en surface avaient entre eux de subtiles ressemblances (MAUROIS, Disraëli, 1927, p. 235).
Loc. adj. De surface, en surface. Sans réalité profonde, superficiel. Amabilité, amitié, indifférence, rivalité, phénomène de surface. Peut-être qu'il se méfiait de sa nature où il y avait un fond de tendresse, aussi se faisait-il facilement rude et bourru, mais ce n'était que de surface (RAMUZ, A. Pache, 1911, p. 57). J'ai l'air distingué, ça je veux bien, mais chez moi, c'est tout en surface. Faudrait quand même pas me prendre pour une femme du monde (AYMÉ, Cléramb., 1950, I, 7, p. 51).
Loc. verb. [En parlant d'une pers.]
Demeurer, rester, s'en tenir à la surface. Ne pas approfondir l'étude d'une question. Pierre (...)s'en tenait à la surface, et (...) il se flattait lui-même en croyant au génie d'un fils qui était son vivant portrait (ZOLA, Fortune Rougon, 1871, p. 63). À condition (...) qu'on n'aille jamais au fond des problèmes, qu'on reste prudemment à la surface en se contentant d'approximations (JANKÉL., Je-ne-sais-quoi, 1957, p. 173).
Être tout en surface, n'être que surface. Manquer de profondeur, de sérieux, de qualités solides. Vous n'avez pas ce qu'il faut pour rendre service à cet enfant (...) il est trop jeune, trop faible, trop en surface, et vous trop exclusif, et logique, et personnel (MONTHERL., Ville dont prince, 1951, III, 3, p. 912).
2. Surface (sociale). Crédit, garanties morales ou matérielles que peut offrir une personne ou une collectivité. Synon. répondant, solvabilité. Cet argent, d'où le tient-elle? De la fortune fabuleuse de ses maris successifs, choisis bien judicieusement selon un triple critère: le compte en banque, la surface sociale et l'âge (L'Express, 29 mai 1981, p. 65, col. 2):

• Phileas Fogg était membre du Reform-Club (...) il passa sur la recommandation de MM. Baring frères, chez lesquels il avait un crédit ouvert. De là une certaine « surface », due à ce que ses chèques étaient régulièrement payés à vue par le débit de son compte courant invariablement créditeur.
VERNE, Tour monde, 1873, p. 2.

Loc. verb. Avoir, présenter, représenter de la surface; manquer de surface. Avoir une autorité, un crédit reconnus; manquer d'autorité, de crédit. M. Lupin Mabier (...) homme ayant de la surface, propriétaire taxé à quatrevingts quartiers (HUGO, Travaill. mer, 1866, p. 69). Il n'a pas le calibre nécessaire. D'ailleurs l'académie est un salon et Bergotte ne jouit d'aucune surface (PROUST, J. filles en fleurs, 1918, p. 773).
3. Littér. Surface (de prise). Éléments pour lesquels quelqu'un est susceptible d'être critiqué, attaqué, mis en position d'infériorité. Présenter peu de surface aux coups. Rien n'a plus prise sur toi. Tu n'as plus de surface (CLAUDEL, Corona Benignitatis, 1915, p. 410).
4. Expr. pop., fam. En boucher une surface à qqn. Causer à quelqu'un une vive surprise, qui le laisse stupéfait. (Dict. XXe s.). Synon. en boucher un coin (v. boucher1).
C. — Spécialement
1. COMM. Grande surface. Ensemble commercial assurant la vente de produits usuels les plus divers, exploité en libre service, et qui présente une superficie consacrée à la vente supérieure à 400 m2. Synon. hypermarché, supermarché. L'image de la grande surface, dévalorisante, liée à l'achat des couches et des boîtes de petits pois par des masses criardes (...) entassées aux caisses le samedi après-midi (Libération, 9 oct. 1984, p. 9).
2. DR. CIVIL. Surface corrigée. Principal élément du calcul du loyer d'un local d'habitation soumis à la réglementation prévue par la loi du 1er septembre 1948, et qui résulte de l'application à la surface réelle de certains coefficients correctifs tels que la situation, le confort, la luminosité, etc. (d'apr. BARR. 1974).
3. COMPTAB. ,,Rapport arithmétique entre les fonds propres d'une entreprise et ses fonds empruntés`` (COMBE 1971).
4. GÉOGR. Surface agricole utile. Superficie d'une exploitation, d'une région ou d'un pays réellement réservée aux activités agricoles. La surface agricole utile (...) d'une exploitation est constituée par les terres réellement travaillées (labours, prairies, vergers, etc.) à l'exclusion des landes, des forêts (GEORGE 1984).
5. GÉOL. Portion plus ou moins étendue de la surface terrestre, caractérisée par sa planitude. On distingue (...) des surfaces d'érosion élaborées avec un enlèvement de matière et des surfaces d'accumulation où il y a eu apport de matériaux, celles-ci beaucoup plus proches de la perfection que celles-là. Une surface d'érosion régulière est parfois nommée surface d'aplanissement. La surface réalisée par le travail de la mer (...) au cours d'une transgression est une surface d'abrasion marine (GEORGE 1984).
6. GÉOM., MATH. Être géométrique à deux dimensions qui peut être considéré, soit comme l'ensemble des points limitant une portion finie ou infinie de l'espace et jouissant d'une même propriété définie, soit comme engendré par le déplacement d'une courbe dont le mouvement satisfait à une loi déterminée. Surface plane, courbe, conique; surfaces limitées (ou polyédriques), illimitées. Tout corps a donc des limites. Nous appelons surface de ce corps l'assemblage des points qui le terminent (...). La disposition de cette surface constitue ce qu'on appelle la forme ou la figure de ce corps (DESTUTT DE TR., Idéol. 1, 1801, p. 178). Le géomètre a beau s'occuper de surfaces sans épaisseur (...) sans le savoir (...) il étudie en réalité certaines propriétés d'extension de la matière (RUYER, Esq. philos. struct., 1930, p. 257).
Surface algébrique. Surface qui, par rapport à des axes de référence cartésiens, est représentée par une équation du type: f (x, y, z) = zéro. Étude des courbes et surfaces algébriques (Hist. gén. sc., t. 3, vol. 1, 1961, p. 37).
Surface minima(le). Surface en tous les points de laquelle la courbure totale est nulle (d'apr. UV.-CHAPMAN 1956).
Surface réglée. Surface engendrée par une droite qui se déplace suivant une loi déterminée. L'étude des surfaces réglées profita (...) de l'introduction d'un nouveau système de coordonnées qui devait entraîner la naissance d'une véritable géométrie de la droite (Hist. gén. sc., t. 3, vol. 1, 1961, p. 38).
Surface de révolution. Surface engendrée par une courbe plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan. Le XVIIe siècle ajoute (...) le calcul de l'aire des surfaces de révolution (BOURBAKI, Hist. math., 1960, p. 193).
7. LING. Structure de surface. En grammaire générative, organisation syntaxique de la phrase qui résulte d'une (suite de) transformation(s) opérée à partir d'une structure profonde. Anton. structure profonde (v. profond I C 2). La notion de surface n'est pas une invention très heureuse, car la définition précise que la grammaire générative donne des structures de surface est très éloignée de cette première intuition (GREIMAS-COURTÉS 1979).
8. PHOT. Surface sensible. Tout support transparent ou opaque rendu sensible à la lumière ou à toute autre radiation par une émulsion photosensible. Il s'agit (...) [dans la photogrammétrie aérienne] de prendre des vues dans les meilleures conditions possibles (l'appareil et les surfaces sensibles devront s'y adapter) (PRINET, Phot., 1945, p. 100).
9. PHYS. Limite entre deux milieux différents. Tension de surface. Lors d'un mélange de plusieurs corps, à tensions différentes, celui ayant la tension inférieure aura tendance à s'accumuler au voisinage de la surface de séparation soit d'avec l'air, soit d'avec un autre milieu (CHARTROU, Pétroles natur. et artif., 1931, p. 22). Densité de surface. Quantité par unité d'aire de ce qui est répandu sur une surface. (Dict. XXe s.).
Spécialement
ÉLECTR. Surface équipotentielle. Surface dont tous les points sont au même potentiel. Le champ électrostatique est normal aux surfaces équipotentielles (SARM. Phys. 1981).
HYDROSTATIQUE. Surface libre. ,,Surface de séparation entre deux fluides`` (MATHIEU-KASTLER Phys. 1983). Ondes de surface. Ondes de distorsion à la surface libre séparant deux phases fluides. (Dict. XXe s.).
ONDES ET VIBRATIONS. Surface d'onde. Lors de la propagation d'un mouvement ondulatoire, lieu des points tels que les vibrations y soient partout en concordance de phase. Les rayons issus d'un point lumineux sont normaux à une surface appelée surface d'onde (PRAT, Opt., 1962, p. 153).
PHYS., CHIM. Agent de surface. Composé chimique dont la molécule comporte un groupement capable d'assurer la solubilisation dans l'eau et un radical ayant peu d'affinité pour l'eau, et dont les solutions modifient les propriétés des surfaces. (Dict. XXe s.). Science des surfaces. Domaine de recherches visant à déterminer les propriétés physiques et chimiques de la zone de discontinuité entre un solide et un autre milieu, et à étudier les phénomènes qui s'y produisent (d'apr. GDEL). Surface spécifique. Surface totale des grains de matière contenus dans l'unité de masse. La surface spécifique est exprimée en mètres carrés par gramme ou centimètres carrés par gramme (Minéral. 1972).
10. SPORTS. Surface de réparation. V. réparation B 2.
11. TECHNOL. Surface de chauffe. Dans un appareil de chauffage industriel ou domestique, surface totale des éléments à travers lesquels la chaleur est transmise. Surface de chauffe directe (soumise au rayonnement du foyer); surface de chauffe indirecte (en contact avec les gaz chauds). La quantité de calories abandonnée par chaque kilogramme d'eau étant peu élevée (...) il faut de grandes surfaces de chauffe dans les locaux pour rayonner la quantité de chaleur voulue (Lar. mén. 1926, p. 318).
Étymol. et Hist. 1. a) Ca 1380 « partie extérieure et visible d'un corps » (JEAN LEFEVRE, trad. La Vieille, 74 ds T.-L.); 1671 fig. « apparence extérieure » (Pierre NICOLE, Essais de morale, 1er traité, 8 ds ROB. 1985); b) 1690 « superficie » (FUR.); 1948 surface corrigée (Loi du 1er sept. ds J.O. du 2 sept., p. 8662, col. 1); 1969 grande surface « hypermaché » (La Croix, 22 oct. ds GILB. 1980); 2. 1691 géom. (OZANAM, p. 108); 3. 1838 techn. surface de chauffe, v. chauffe; 1890 phys. surface équipotentielle (Lar. 19e Suppl., s.v. équipotentiel); 4. 1972 ling. structure de surface (Ling.). Dér. de face*; préf. sur-*, d'apr. le lat. superficies, v. superficie. Cf. le m. fr. superface au sens 1: 1521 (Violier des histoires romaines, éd. G. Brunet, p. 367), et dans une accept. fig. ca 1526 (Pièce ds Rec. de poés. fr. des XVe et XVIe s., éd. A. de Montaiglon et J. de Rothschild, t. 12, p. 136, 6). Fréq. abs. littér.: 3 404. Fréq. rel. littér.: XIXe s.: a) 5 900, b) 3 691; XXe s.: a) 3 279, b) 5 492. Bbg. FLASCHE (H.). Critique litt. et sém. In: Congrès Internat. de Ling. et Philol. Rom. 13. 1971. Québec, 1976, t. 2, pp. 870-875. — QUEM. DDL t. 21 (s.v. surface de grille), 36 (s.v. surface de glissage; surface de glissement). — RENSON 1962, pp. 300-303. — Sculpt. 1978, p. 680 (s.v. surface d'appui).

Résumé : Sur-face


Visage

Partie visible d'un objet

Couche externe

Interface entre deux milieux

Limite d'une zone

Objet idéal sans épaisseur et à 2 dimensions
?
Être géométrique
à deux dimensions…

II. Pour le physicien

(spécialisé en optique)

Quelle est l'épaisseur d'une surface ?

Que voit-on ?

  • La lumière est portée par des ondes.
  • La longueur d'onde de la lumière visible est d'environ 1/2000 mm ≈ 300 fois la taille d'un atome.
  • La lumière visible ne “voit” pas les atomes individuels.
  • Une matière opaque bloque la lumière quand son épaisseur dépasse suffisamment la longueur d'onde.
  • Une feuille de métal de 0.001 mm d'épaisseur seulement (600 atomes) bloque totalement la lumière.
Le papier est translucide. Une feuille de papier (0.1mm d'épaisseur) cache une image mais on peut voir luire une lumière à travers.

Pourquoi ?

C'est la diffusion : les fibres constituant la feuille sont transparente mais dévient les rayons lumineux. Une partie de la lumière passe mais l'image de ce qui est derrière a été brouillée à un point tel qu'elle est uniforme.

Plus exactement, chaque point de la feuille émet un mélange des lumières reçues dans toutes les directions
Dans la plupart des cas nous ne voyons qu'une infime partie de la matière constituant un objet.
Pour un petit objet, on voit facilement l'intérieur.

Pour un plus gros…

III. Pour l'astronome

Quelle est la couleur de surface de la planète Mars ?

 
   
Pas de surface solide
Épaisseur de ce qu'on voit en :
Lumière visible : ≈ 10km
Micro-ondes : 400 km
Rayon : 70 000 km
Convention des astronomes :
surface = lieu où la pression vaut 1 bar

IV. Pour l'infographiste

 
 

Normal map

V. Pour le mathématicien

V.a. Pour le topologue

Montrer l'autre diaporama.

V.b. Pour le géomètre

La sphère.

Définition : ensembe des points de l'espace
situés à distance R du centre.
Une courbe qui se déplace





Des équations


V.c. Pour l'algébriste




Courbe implicite
(y2−x2)(x−1)(2x−3) = 4(x2+y2−2x)(x2+y2−2x)

x: 0
y: 0

Différence : 0

Une équation → frontière entre des zones

Monde 3DMonde 2D
Une équation
→ une surface
Une équation
→ une courbe
En combinant astucieusement deux équations, on peut recoller des surfaces en arondissant les angles. (Blobs, Metaballs)

V.d. Pour l'analyste

Courbe paramétrée

t = le paramètre

il varie de -1 à 1
x = (2×t×t−1)×t
y = 1−2×t×t

Pour une surface, il faut deux paramètres.

“[…] engendré par le déplacement d'une courbe […]”


Bouteille de Klein

V.e. Pour le savant mécanicien

Courbe d'équilibre

Simulation de tissus

On a parfois le choix

Pour le cercle :

Déf. implicite :
  • x2+y2 = 1

Déf. paramétrique :
  • x = cos(t)
    y = sin(t)
  • x = (1-t2)/(1+t2)
    y = 2t/(1+t2)

Déf. par équilibre :
  • Courbe fermée à périmètre fixé et maximisant l'aire

VI. Pour Pacman

“[…] Être géométrique à deux dimensions […]”

Scène 2D d'un monde imaginaire
© 1996-2011 N. Landsteiner, mass:werk – media environments
https://www.masswerk.at

Montrer Torus Games
L'extérieur existe-t-il ?

Géométries non-euclidiennes.