Des impressions 3D
pour comprendre la 4D

Arnaud Chéritat

CNRS / Institut de Mathématiques de Toulouse

Polygones réguliers

Polyèdres réguliers

Les cinq solides de Platon

(il n'y en a pas d'autre)

Polyèdres réguliers

Un polyèdre doit être constitué de faces planes et polygonales.

Pour être régulier il faut :

  • Qu'il soit convexe.
  • Que les faces soient des polygones réguliers.
  • Qu'elles soient identiques.
  • Que chaque sommet du polyèdre rencontre le même nombre de face.


Patrons

Angles

Conséquence de la convexité :
la somme des angles des faces qui contiennent un sommet est < 360°
Exemple: pour chaque sommet du cube, il y a 3 carrés.

3×90° = 270° < 360°  ✔

Angles

Polygone régulierAngle au sommetNombre max
Triangle équilatéral60°5
Carré90°3
Pentagone régulier108°3
Hexagone régulier120°2
Heptagone régulier128,57…°2
…

Polyèdres réguliers

côtés
d'une face		faces par
sommet		existe ?nombre
de faces
33oui4
34oui8
35oui20
43oui6
53oui12

Les dimensions

  • Pour repérer un point sur une ligne il faut 1 nombre (x).
    La ligne a une dimension (1D).
  • Pour repérer un point sur un plan il faut 2 coordonnées (x,y).
    Le plan a deux dimensions (2D).
  • Pour repérer un point dans l'espace il faut 3 coordonnées (x,y,z).
    L'espace a trois dimensions (3D).
  • L'espace à 4 dimensions (4D) est un espace imaginaire dans lequel on se repère avec 4 coordonnés.

La 4e dimension

Pour faire de la géométrie il faut pouvoir:
  • calculer des distances entre points,
  • déterminer si des points sont alignés.
Il y a des formules pour cela, aussi bien en 1D, 2D, 3D, qu'en 4D, 5D, etc.

L'hypercube

   

L'hypercube

Projection perspective

crédit image de droite: Wikipedia

Passage 3D -> 4D

A priori nous ne pouvons pas former d'image mentale d'un objet en 4 dimensions.

crédit : Flatland the movie, Flat World Productions, LLC

Pour s'en faire une idée, prenons le cas de quelqu'un incapable d'imaginer la 3e dimension.
Comment cette personne peut-elle essayer de comprendre un des solides de Platon ?

Passage 2D -> 3D

Comment un flatlander peut comprendre un des solides de Platon ?

Par projection.
Par sections.
Avec des patrons.

Projection

Il y a une projection qui est facile à exprimer par des formules :
la projection orthogonale sur un plan horizontal.
Il suffit en effet de retirer la cooronnée hauteur: (x,y,z) ↦ (x,y).

Polyèdres réguliers

Projections.


4   6   8   12   20   inv. barres

Puzzle 2D

Polyèdres réguliers

Patrons et repliement 3D vu projeté sur un plan.


4   6   8   12   20   un voisins tous

Polytopes

polytope
 →
facette		 polyèdre
 →
face		 polygone
 →
côté		 segment

Polytopes réguliers


4   6   8   12   20   centr. +1 +2 +tt fil

Polytopes réguliers


3   4   5   6   fil

Polytopes réguliers

type de
facette		nb par
segment		existe ?nombre
de facettes
tetra3oui5
tetra4oui16
tetra5oui600
octa3oui24
cube3oui8
dodec3oui120
Crédit images: Fritz Obermeyer, domaine public

Projeté du 120


L'ombre du 120