y 
los vectores suportados por las aristas adjacentes a B y orientadas orientadas de
menos (−) hacia más (+). El cono CB es generado por los vectores 
y
:
La suma de los ángulos (sólidos) de un tetraedro no es constante, contrario a lo que pasa para un triángulo. Entonces,
¿existe una manera de sumar ángulos definidos por el tetraedro que sí es invariante?
Es el primer objectivo de esta pagina.
Spoiler: ¡sí!, y más, existe una manera sencilla de generalizar el famoso enunciado para cada simplejo de dimensión \(n\) dada,
En geometriá euclidiana, en el plano, el enunciado siguiente, en lengua común, se cumple:
Teorema 1 La suma de los ángulos de un triángulo es π radianes.
En dimensión tres, la suma de los ángulos (sólidos) en los vertices de un teraedro no es constante. Esta pagina se propone presentar una generalización del enunciado para triángulos, a tetraedros y a cualquier simplejo de dimensión n
mayor o igual a dos. Es bastante sencillo y es probable se sepa desde casi siempre. Nosotres lo hemos descubrido escribiendo
« On the Total Curvature of Tropical Hypersurfaces » (B. Bertrand, L. López de Medrano et J.-J. Risler) publicado « Algebraic and Combinatorial Aspects of Tropical Geometry, AMS Contemporary Mathematics 589 » que se puede leer casi igual aquí.
Comentarios y referencias bienvenidos.
La medida del ángulo sólido en un vertice B de un tetraedro n es la area de la interseción del cono generado por las aristas saliendo de B con de la esfera unidad centrada en B.
Pero antes, demostramos el enuciado para un triángulo euclidiano. Se pueden reorganizar los conos generados por la aristas de un triángulo para que teselan uno semi-plano.
Agarremos un vertice B y le pongamos como etiqueta un signo menos (−) que fijamos así para siempre, le correponde el color azul. Consideramos el cono CB de vertice B generado por las aristas
del triángulo adjacentes a B. Etiquetamos primero los dos otros vertices con más (+) con color rojo. Sea y
los vectores suportados por las aristas adjacentes a B y orientadas orientadas de
menos (−) hacia más (+). El cono CB es generado por los vectores y
:
.
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| Triángulo con un signo menos | Aristas orientadas de menos hacia más | Cono generado por las aristas |
et 
tiene misma medida que el ángulo
en B del triángulo. Etiquetamos ahora un otro vertice, por ejemplo A1, por menos (−) y el último,
digamos A2, con más (+) y B siempre queda con
menos (−). Los vectores 
y 
generan el cono con vertice B,
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Triángulo con dos signos menos y un más | Aristas orientadas de menos hacia más | Vectores representados con origines en B | Cono generado | Cono generado |
El ángulo (no-orientado) defínido por los vectores 
y 
mide lo mismo que
e ángulo en A2 del triángulo.
De la misma menera, con etiquetas A2 -- menos (−) y A1 -- más (+), se obtiene el cono
 |  |  |  |  |
Triángulo con dos signos menos y un más | Aristas orientadas de menos hacia más | Vectores representados con origines en B | Cono generado | Cono generado |
El ángulo (no-orientado) defínido por los vectores 
y 
mide lo mismo que
el ángulo en A1 del triángulo.
Los tres conos CB,C1 et C2 teselan un semi-plano. La suma de las medidas de sus ángulos de sus medidas es la medida de un semi- circulo de radio uno.
Los conos obtenidos así teselan un semi-plano.
Los ángulos de los conos son de medida iguales a los del triángulo y su suma es π . Hemos demostrado de nuevo que la suma de los ángulos de un triángulo es π radianes.
Ahora veamos las dimesiones mayores. Las ilustraciones quedaran de un tetraedro pero la prueba es la misma cual sea la dimensión n mayor que 1. Se puede leer el texto subsituando n por 3 si Usted no quiere no subir a dimensiones mayores.
Se aplica una generalización de la prueba previa (del caso previo del triángulo).
Recordámos que la medida del ángulo sólido en un vertice B de un simplejo de dimensión n es el volumen de la intersección del cono generado por las aristas que salen de B intersectado con esfera unidad de dimensión n − 1 centrada en B.
Agarremos un vertice del simplejo que llamamos B y lo equipamos de un signo menos (−) fijado una vez para siempre, y llevando el color azul en las illustraciones.
Para los otros vertices se considera una a una todas las configuraciones σ de
signos posibles. A un configuración de signos σ en los vertices, se asocia las aristas
bipolares orientadas de menos (−) hacia más (+). Los vectores définidos por esas
aristas orientadas generan un cono Cσ.
Ejemplo de esta construcción con σ conteniendo solo signos más (+) y entonces dando un cono simplicial (generado por una base de ℝn).
| Tetraedro -- Solo B tiene un signo menos (azul) | Aristas orientadas | Tetraedro, vectores y cono | Vectores y cono |
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Las segundas y terceras lineas la tabla arriba se pueden clicar para obtener la vista interactiva en plena pagina.
| tetraedro y signos an los vertices | aristas orientadas | con la origen de los vectores en B | vectores generando el cono | tetraedro, vectores y cono | vectores et cono |
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Las segundas y terceras lineas de la tabla arriba se pueden clicar para obtener la vista interactiva en plena pagina.
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El enunciado en dimensión 3 :
Teorema 2 (Ángulos viniendo de un tetraedro) La suma de los ángulos sólidos generados por un tetraedro con la procedura descrita arriba es 2π steradianes (es decir la area de una demi-esfera unidad).
Y, en todas dimesiones superiores:
Teorama 3 (Ángulos generados por un simplejo) La suma de los ángulos obtenidos de un simplejo de dimensión n con la procedura descrita arriba es el volumen de un semi-esfera unidad de dimensión n − 1.
Se puede seleccionar las distribuciones de signos abajo (en dimension 3) y obtener los trozos de conos correpondientes y sus arranglamientos en el cuadro abajo. De esta manera se puede notar sus posiciones relativas
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abajo una visualización de los 7 conos obtenidos en dimensión 3
Los 2n − 1 conos obtenidos teselan un semi-espacio DB. El ángulo sólido correspondiente mide una semi-esfra de dimensión n − 1.
Nota 1 Si se relaja la condición sobre el signo de B (i.e. si se permite cambiarlo por más (+)) se obtiene, por supuesto, uns teselación del espacio entero y la suma de las medidas de los ángulos descritos dobla (y corresponde al volumen de una esfera unidad).
El semi-espacio DB está delimitado par el híperplano vectorial paralelo al híperplano afín generado por FB la cara del simplejo opuesta a B. El hecho que los vectores generados por las aristas orientadas contenidas en la cara FB sigue del enuciado en dimensión n − 1.
Los conos adyacentes a una arista a del simplejo considerado conteniendo B (i.e. no contenidas en su cara opuesta FB) se obtienen en fijando el signo del secundo vertices de la arista a à más (+) y variando los otros signos. Realizan un recovrimiento de un entorno del rayo generado por a.
Para verlo, podemos, por ejemplo, notar que el simplejo con un vertice marcado (B) determina una base de ℝn. Las caras de dimensión n − 1
que contienen B generan los híperplanos de coordenadas en está base.
recortan ℝn en 2n cámaras conicas. Los 2n−1 que contienen el rayo que corresponde a la arista a
realizan un pavamiento de un entorno d’aquel. Un punto cerca de un rayo generado por
a está en el cono dado por la distribución de signos de sus
coordenadas en la base considerada. Es decir que basta agarrar, para cada vertice Ai del simplejo que no está en la arista a, el signo de la coordenada del punto sobre el eje dirigido por \(\overrightarrow{BA_i}\).
¡No hay "hueco" en la teselación!
En mayor generalidad, podemos describir la estrella de cualquiera cara del complejo poliedral dado por el algoritmo especificado arriba. Y, provamos que esos conos realizan una teselacíon del semi-espacio. En particular, la suma de las medidas de los ángulos sólidos de los conos, sí, es igual a la medida de una semi-esfera.
Nota 2 Se puede triangular cualquier polítopo convexo en simplejos cuyo vertices son todos vertices del polítopo. Por supesto, se puede aplicar la construcción arriba a cada simplejo de la triangulación. Se obtiene como "ángulo" total el producto del número de simplejos por el vólumen de una semi-esfera unidad.