Aurélien Garivier  01.2003

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}7 − 8 − 9 : 𝔞𝔩𝔤𝔢̀𝔟𝔯𝔢 𝔩𝔦𝔫𝔢́𝔞𝔦𝔯𝔢

1 Généralités

– A ∈ M_{n}(ℂ) est dite à diagonale dominante si

∀i ∈ {1, …, n}, |a_{ii}| > ∑_{j≠i} |a_{ij}|

Montrer qu’alors A est inversible

– Exhiber un endomorphisme d’espace vectoriel injectif et non surjectif, puis un endomorphisme dont l’image est égale au noyau.

– Soit A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Calculer A^{n} pour tout n.

– Soit A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & −9 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} ). Calculer (A − I_{3})^{2}. Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

– On considère la matrice n × n M = [m_{ij}] telle que : \{ \begin{matrix}m_{ij} & = & 0 & si i > j \\ m_{ij} & = & j − i + 1 & si i ⩽ j \end{matrix} Calculer M^{−1}.

– Calculer le déterminant : δ = | \begin{matrix}1 & a & a^{2} & a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{4} \\ 1 & d & d^{2} & d^{4} \end{matrix} |

– Soit E un K-ev de dimention finie, f ∈ L(E) commutant avec tous les automorphismes de L(E).

1. montrer que si x et y sont libres, il existe u ∈ GL(E) tq u(x) = x et u(y) = x + y.

2. montrer que si a ∈ E \ ker(f), ∃λ(a) : f(a) = λ(a)a.

3. montrer que λ(a) ne dépend pas de a.

4. conclure sur la nature de f.

– Soit A et B deux matrices semblables de M_{n}(ℂ). Montrer que les transposées des comatrices de A et B sont aussi semblables.

– Pour A ∈ M_{n}(ℝ), on définit |||A|||_{p} = sup_{||x||_{p}⩽1} ||Ax||_{p}. Montrer que 1. |||A|||_{1} = max_{1⩽j⩽n} ||C_{j}(A)||_{1}.

2. |||A|||_{∞} = max_{1⩽i⩽n} ||L_{i}(A)||_{1}.

3. |||A|||_{2} = \sqrt{ρ (^{t}AA)}.

– Résoudre et interpréter le système :

\{ \begin{matrix}cy & − & bz & = & p \\ az & − & cx & = & q \\ bx & − & ay & = & r \end{matrix}

– Soit A ∈ M_{n}(ℂ). Montrer l’équivalence des assertions suivantes :

i) T r(A) = 0.

ii) A est semblable à une matrice de diagonale nulle.

– Montrer que deux matrices réelles semblables sur ℂ sont semblables sur ℝ.

– Pour n ⩾ 2, trouver A ∈ M_{n}(ℂ) telle que, pour toute matrice M ∈ M_{n}(ℂ), on ait :

det(A + M) = det(A) + det(M)

2 Réduction des endomorphismes

– Soit A ∈ M_{n}(ℂ). Montrer l’équivalence des assertions suivantes :

i) A est nilpotente.

ii) ∀k ∈ 1, …, n, T r(A^{k}) = 0.

– Trouver les éléments propres pour a ∈ ℝ de f : ℝ_{n}[X] → ℝ_{n}[X] défini par

f(P) = P − P (a) − (X − a) (P′ − P′(a))
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– Calculer le déterminant puis les valeurs propres de

A_{n} = ( \begin{matrix}a & b & 0 \\ c & ... & ... \\ & ... & ... & b \\ & 0 & c & a \end{matrix} )

– Déterminer les valeurs et vecteurs propres de la matrice : A = ( \begin{matrix}1 + a^{2} & ab & ac \\ ab & 1 + b^{2} & bc \\ ac & bc & 1 + c^{2} \end{matrix} ).

– Trouver tous les (α, β, γ, a, b, c) ∈ ℝ^{6} tels que la matrice ( \begin{matrix}1 & α & a \\ 1 & β & b \\ 1 & γ & c \end{matrix} ) admette ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) comme

vecteurs propres.

– Soit A une matrice réelle symétrique définie positive d’ordre n.

1. Montrer qu’il existe un polynôme P ∈ ℝ_{n}[X] tel que P (A) soit une matrice symétrique définie positive et telle que P (A)^{2} = A.

2. Montrer que A n’admet qu’une seule "racine carrée" définie positive.

3. Résoudre X^{2} = ( \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ).

– Soit A une matrice réelle symétrique définie positive d’ordre n. Pour n ⩾ 1, on définit

\{ \begin{matrix}X_{0} & = & I_{n} \\ 2X_{n+1} & = & X_{n} + AX_{n}^{−1} \end{matrix}

Montrer que (X) admet une limite R vérifiant R^{2} = A.

– Soit M ∈ GL_{n}(ℝ).

1. montrer qu’il existe O orthogonale et S symétrique définie positive telles que M = OS.

2. Montrer que cette décomposition est unique.

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