Aurélien Garivier  20.10.2002

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}5

1 Suites de fonctions réelles ou complexes

– Etudier la suite de fonctions de ℝ_{+} dans ℝ définie par f_{0}(x) = x et

f_{n+1}(x) = \frac{1}{2} (f_{n}(x) + \frac{x}{f_{n}(x)})

Indication : introduire g_{n}(x) = \frac{f_{n}(x)−\sqrt{x}}{f_{n}(x)+\sqrt{x}}.

2 Suites de fonctions réelles ou complexes

– Etudier la fonction ϕ : [−1, 1] → ℝ définie par :

ϕ(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n^{2}}

– 1. Etudier les différents modes de convergence, pour x ∈ ℝ − ℤ, de la série de fonctions

∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(n − x)^{2}}

2. Soit α ∈ ℝ tq |α| > 2 et f continue de ℝ dans ℝ, de période 1, avec :

∀x ∈ ℝ, f (\frac{x}{2}) + f (\frac{1 + x}{2}) = αf(x)

Montrer que f est nulle.

3. En déduire l’égalité :

∀x ∈ ℝ − ℤ, \frac{π^{2}}{sin^{2} πx} = ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{1}{(n − x)^{2}}

– Etudier la fonction ζ de Riemann définie par :

ζ(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{x}}

(Domaine de définition, régularité, convexité, limites, ...)

– Soit (a_{n})_{n∈ℕ} une suite de nombres réels décroissant vers 0. Montrer que la série de terme général a_{n} sin nx : 1. converge simplement sur ℝ.

2. converge uniformément sur [ϵ, 2π − ϵ] pour tout ϵ > 0.

3. converge normalement sur ℝ si et seulement si ∑ a_{n} < ∞.

4. converge uniformément sur ℝ si et seulement si na_{n} → 0. Attention : la condition suffisante est plus difficile.

PC 2001-2002  Algèbre linéaire générale