Aurélien Garivier  20.10.2002

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}4

1 Séries à termes positifs

– Soit (u_{n})_{n∈ℕ} une suite décroissante de nombres positifs.

Montrer que ∑_{k=1}^{∞} u_{n} converge si et seulement si ∑_{k=1}^{∞} 2^{n}u_{2^{n}} converge. En déduire la nature de la série ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{α}(log n)^{β}} pour α > 0 et β ∈ ℝ.

– Calculer un développement asymptotique à l’ordre 2 de la suite u_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.

Quelle est la nature de la série harmonique dont on supprime tous les termes contenant au moins une fois le chiffre 9 ? Indication : compter le nombre de termes de cette série compris entre 10^{p} et 2.10^{p}.

– Soit ∑_{n=0}^{∞} a_{n} une série à termes strictement positifs et divergente. Pour n ∈ ℕ on pose S_{n} = ∑_{p=0}^{n} a_{p}. Montrer que, pour α ∈ ℝ, l’équivalence entre α > 1 et la convergence de la série ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{S_{n}^{α}}.

2 Séries à termes réels ou complexes

– Montrer que la série ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(log n)}{n} diverge.

Indication : utiliser la formule de Taylor avec reste intégral sur un terme de la série.

– Nature de la série de terme général a_{n} avec a_{n} = ∑_{p=n}^{∞} \frac{(−1)^{p}}{\sqrt{p+1}}.

Indication : montrer qu’elle est alternée de terme décroissant par convexité de x → x^{− \frac{1}{2}} .

PC 2001-2002  Algèbre linéaire générale