Aurélien Garivier  20.10.2002

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}3

1 Exemples et contre-exemples

– Soit f_{n} : [0, 1] → ℝ_{+} une suite de fonctions telle que ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx → 0.

A-t-on que ∀x ∈ [0, 1], f(x) → 0 ? Presque partout ?

– Donner une fonction dont l’intégrale indéfinie n’est pas dérivable.

– Soit f définie sur [−1, 1] par f(0) = 0 et pour x non nul f : x → \frac{x}{ln|x|} cos \frac{1}{x}. Montrer que f est dérivable mais que sa dérivée n’est pas intégrable.

2 Méthode de Laplace

Soit [a, b[ un intervalle de ℝ, ϕ : [a, b[→ ℝ une fonction de classe C^{2} et f : [a, b[→ ℂ telle que e^{−t_{0}ϕ}f soit intégrable sur [a, b[ pour un certain réel t_{0}.

On suppose f continue en a et f(a) ≠ 0. On recherche un équivalent pour t → +∞ de l’intégrale

F (t) = ∫_{a}^{b} e^{−tϕ(x)}f(x)dx

1. Si a = 0 et ϕ(x) = x, montrer que

F (t) ∼ \frac{f(0)}{t}

Indication : couper en ∫_{0}^{α} et ∫_{α}^{b}.

2. Si ϕ′ > 0 sur [a, b[, montrer que

F (t) ∼ \frac{1}{ϕ′(a)}.\frac{e^{−tϕ(a)}f(a)}{t}

Indication : effectuer un changement de variable ϕ(x) = ϕ(a) + y.

3. Si a = 0 et ϕ(x) = x^{2}, montrer que

F (t) ∼ \frac{\sqrt{π}}{2} .\frac{f(0)}{\sqrt{t}}

Même indication qu’en 1.

4. Si ϕ′ > 0 sur [a, b[, ϕ′(a) = 0 et ϕ′′(a) > 0, montrer que

F (t) ∼ \sqrt{\frac{π}{2ϕ′′(a)}}.\frac{e^{−tϕ(a)}f(a)}{\sqrt{t}}

Indication : effectuer un changement de variable ϕ(x) = ϕ(a) + y^{2}.

5. Application : donner un équivalent pour n → +∞ de n!. Indication :

n! = Γ(n + 1) = ∫_{0}^{∞} e^{−x}x^{n}dx

3 Convolution

Soit f, g : ℝ → ℝ.

– Dans quels cas la fonction f ∗ g : x → ∫_{−∞}^{+∞} f(t)g(x − t)dt est-elle définie ?

– Montrer que si f et g sont continues, supp(f ∗ g) ⊂ \overline{suppf + suppg}.

– Montrer que si f est de classe C^{k} et g est à support compact et intégrable, f ∗ g est de classe C^{k}.

En déduire que si f est un polynôme, f ∗ g en est un aussi.

– Montrer qu’il existe ρ ∈ C^{∞}(ℝ) positive à support dans [−1, 1] telle que ∫_{−1}^{1} ρ(x)dx = 1.

Quelles sont les propriétés des fonctions ρ_{n} : x → ρ(nx) ?

– Montrer :

∀ϵ > 0, ∃U ∈ C^{∞}(ℝ) : \begin{aligned}x ∈ ℝ & ⇒ & 0 ⩽ U(x) ⩽ 1 \\ |x| < 1 & ⇒ & U(x) = 1 \\ |x| > 1 + ϵ & ⇒ & U(x) = 0 \end{aligned}

– Montrer que si f est continue à support compact sur ℝ, f_{n} = f ∗ro_{n} est une suite de fonctions convergeant uniformément vers f.