Aurélien Garivier  20.10.2002

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}2

1 Limites et comparaison de fonctions

– Soit f et g deux fonctions de ℝ dans ℝ telles qu’en +∞, f ∼ g. A-t-on ln f ∼ ln g? Et exp f ∼ exp g?

2 Continuité

– Soit f ∈ C^{0}([0, 1], ℝ) telle que ∫_{0}^{1} f(t)dt = \frac{1}{2}. Montrer que f admet au moins un point fixe.

– Un train parcourt cent kilomètres en une heure. Montrer qu’il y a une demi-heure pendant laquelle il parcourt exactement cinquante kilomètres.

– Soit f : ℝ → ℝ dérivable telle que f(0) = 0, f′(0) > 0 et ∀x ∈ ℝ, f′(x)f′(f(x)) = 1. Montrer que f = Id_{ℝ}.

3 Dérivation des variables réelles ou complexes de la variable réelle

– (Théorème de Darboux) Soit I un intervalle de ℝ non réduit à un point et f : I → ℝ. Montrer que f′(I) est un intervalle.

– Soit f : [a, b] → ℝ dérivable telle que f′(a) = f′(b) = 0. Montrer : ∃ξ ∈]a, b[: f′(ξ) = \frac{f(ξ)−f(a)}{ξ−a}. Interprétation graphique.

– 1. Soit (a_{i})_{i∈I} et (b_{i})_{i∈I} deux familles de nombres réels. Montrer que sup_{i∈I} a_{i} + b_{i} ⩽ sup_{i∈I} a_{i} + sup_{i∈I} b_{i}. 2. On se donne une famille de fonctions affines (x → λ_{i}x + μ_{i})_{i∈I}. Montrer que x → sup_{i∈I} λ_{i}x + μ_{i} est convexe.

3. Soit f : ℝ → ℝ une fonction convexe, et f^{∗} : p → sup_{x∈ℝ}px − f(x). Montrer que f^{∗} est convexe.

4. Calculer f^{∗} si f(x) = ln (\frac{1+e^{t}}{2} ) puis si f(x) = x^{2}. Existe-t-il f telle que f^{∗} = f ?

5. Montrer que (f^{∗})^{∗} = f.

4 Dérivées d’ordre supérieur 5 Développements limités et asymptotiques

– Montrer que x → x^{3} sin (\frac{1}{x}) admet un DL2 en 0, mais n’y est pas deux fois dérivable.

– Soit pour tout n ∈ ℕ la fonction Φ_{n} : [0, 1] → ℝ définie par Φ_{n}(x) = x − cos (\frac{x}{n}).

1. Montrer que Φ_{n} admet une unique racine x_{n}.

2. Montrer que ∀n ∈ ℕ, ∀x, y ∈ [0, 1], |Φ_{n}(x) − Φ_{n}(y)| ⩾ |x − y|.

3. Trouver un développement asymptotique de x_{n} à l’ordre 4.

PC 2001-2002  Algèbre linéaire générale