Aurélien Garivier  04.2003

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}11 : 𝔈𝔰𝔭𝔞𝔠𝔢𝔰 𝔳𝔢𝔠𝔱𝔬𝔯𝔦𝔢𝔩𝔰 𝔫𝔬𝔯𝔪𝔢́𝔰

1 Topologie

– Pour A ∈ M_{n}(ℝ), on définit |||A|||_{p} = sup_{||x||_{p}⩽1} ||Ax||_{p}. Montrer que 1. |||A|||_{1} = max_{1⩽j⩽n} ||C_{j}(A)||_{1}.

2. |||A|||_{∞} = max_{1⩽i⩽n} ||L_{i}(A)||_{1}.

3. |||A|||_{2} = \sqrt{ρ (^{t}AA)}.

– Soit E le ℝ- espace vectoriel C^{0} ([0, 1], ℝ) et g ∈ E. On note N_{g} : E → ℝ, f → ||fg||_{∞}.

1. Donner une CNS sur g pour que N_{g} soit une norme.

2. Dans ce cas, est-elle équivalente à ||.||_{∞}?

– Soit V un ensemble convexe ouvert borné d’un ℝ-espace vectoriel de dimension finie E tel que 0 ∈ V. Pour x ∈ E \ 0, on note

ν(x) = inf \{\frac{1}{λ}|λ ∈ ℝ^{+}, λx ∈ V \} 1. Justifier que ν est bien définie.

2. Montrer que V = {x ∈ E|ν(x) < 1} ∪ {0}.

3. A quelle condition V est-il la boule unité (ouverte) d’une certaine norme ?

– Soit C un ensemble convexe d’un R-espace vectoriel, et x ∈ C̊, y ∈ C̄. Montrer que [x, y[⊂ C̊.

2 Fonctions de plusieurs variables

– Fonction Γ d’Euler : Etudier la fonction

Γ : x → ∫_{0}^{+∞} t^{x−1}e^{−t}dt

(définition, régularité, limites, Γ(n + 1) = nΓ(n), lien avec la factorielle, équivalent en 0 …)

– Interpolation au sens des moindres carrés : Soit x⃗ ∈ ℝ^{n} \ vect(1), y⃗ ∈ ℝ^{n} et ϵ : ℝ^{2} → ℝ, (α, β) → ||y⃗ − (αx⃗ + β) ||_{2}. Montrer que ϵ admet un unique minimum sur ℝ^{2} et le calculer en fonction de x⃗ et y⃗. Indication : soit

A = ( \begin{matrix}x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ x_{n} & 1 \end{matrix} )

Montrer que ϵ(α, β) = ||y⃗ − A ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) ||_{2}.

2 Possibilités : soit on différentie soit géométriquement : montrer que ϵ est minimale si et seulement si A ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) est le projeté orthogonal de y⃗ sur ImA, et donc si et seulement si e⃗ est orthogonal à ImA. En déduire que ^{t}AA ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) = ^{t}Ay⃗ et étudier l’existence et l’unicité de solutions pour cette équation.

PC 2002-2003  Espaces vectoriels normés