Aurélien Garivier  03.2003
𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}10 : 𝔖𝔢́𝔯𝔦𝔢𝔰 𝔡𝔢 𝔉𝔬𝔲𝔯𝔦𝔢𝔯

1 Généralités

1.1 Formule sommatoire de Poisson

Soit f une application ℝ → ℂ de classe C^{∞} telle que

∀k, n ∈ ℕ, x^{k}f^{(n)}(x) →_{|x|→∞} 0

(f est dite de la classe de Schwartz).

– Pour tout T > 0, montrer que la série ∑_{n∈ℤ} f(x + n + T) définit sur ℝ une fonction C^{∞} notée g.

– Ecrire la décomposition en série de Fourier de g :

∀x ∈ ℝ, g(x) = ∑_{n∈ℤ} c_{n}e^{2iπ \frac{nx}{T}} , c_{n} = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} g(x)e^{−2iπ \frac{nx}{T}} dx

– En notant f̂(t) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx}f(t)dt, montrer que

c_{n} = \frac{1}{T} f̂(\frac{n}{T} )

– En déduire que pour tout x dans ℝ :

T ∑_{n∈ℤ} f(nT) = ∑_{n∈ℤ} f̂(\frac{2πn}{T})

– Appliquer cela à f(x) = e^{−|x|}. En déduire l’égalité :

∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{1 + n^{2}} = \frac{π}{1 − e^{−2π}} + \frac{1 − π}{2}

2 Calcul de séries de Fourier

2.1 Exemple

Soit f la fonction 2π-périodique définie sur [0, 2π]par

f(x) = \frac{x(2π − x)}{4}

Que vaut sa série de Fourier ? Comment converge-t-elle ? En déduire l’égalité :

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

PC 2002-2003  Séries de Fourier