Aurélien Garivier  20.10.2002

𝔓𝔯𝔬𝔤𝔯𝔞𝔪𝔪𝔢 𝔫^{∘}1

1 Algèbre générale

1. Trouver le nombre de surjections de ℕ_{n+1} sur ℕ_{n}.

2 Structures algébriques et leurs morphismes

1. Quels sont les morphismes de groupe continus (ℝ, +) → (ℝ, +) ?

2. On considère deux sous-groupes H et K d’un groupe (G, .). On pose HK = {h.k|(h, k) ∈ H × K}.

Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH.

3. Soit K le plus petit corps contenant Q et \sqrt{2}. Le décrire. Déterminer ses automorphismes de corps.

3 Révisions sur les nombres complexes et les coefficients binômiaux

1. Démontrer, sans calcul, par dénombrement d’ensembles bien choisis, la relation :

∁_{n+p}^{q} = ∑_{k=0}^{q} ∁_{n}^{q−k}∁_{p}^{k}

2. Montrer que le produit de p entiers (naturels) consécutifs est divisible par le produits des p premiers entiers naturels.

3. – Soit n un entier naturel et p un nombre premier. Quelle est la plus grande puissance de p divisant n! – Combien de zéros finaux contient l’écriture en base 10 de 1000! ?

– Montrer que ∀a, b ∈ ℝ, E(2a) + E(2b) ⩾ E(a) + E(b) + E(a + b).

– Montrer que (2a)!(2b)! est divisible par a!(a + b)!b!.

4 Fonctions polynômiales

1. Soit P_{n} = (X + 1)^{6n+1} − X^{6n+1} − 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, (X^{2} + X + 1)^{2} divise P_{n}.

2. Trouver tous les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P (X^{2}) = P (X)P (X + 1).

3. Soit P ∈ ℂ[X]. Montrer que P (X) − X divise P (P (X)) − X dans ℂ[X].

4. Soit P ∈ ℝ[X]. Montrer : ∃Q, R ∈ ℝ[X] : P = Q − R avec ∀x ∈ ℝ, Q(x) ⩾ 0, R(x) ⩾ 0.

5. Soit P ∈ ℝ[X] tel que ∀x ∈ ℝ, P (x) ⩾ 0. Montrer : ∃A, B ∈ ℝ[X] : P = A^{2} + B^{2}.

6. Soit m ∈ N^{∗}, n ∈ N^{∗} et pour 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n, (x_{i}, y_{j}, z_{i,j}) ∈ ℝ^{3}. Peut-on trouver P ∈ ℝ[X, Y] tel que pour tous 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n, P (x_{i}, y_{j}) = z_{i}, j?

7. Trouver tous les polynômes de ℝ[X] tels que \{ \begin{matrix}P (0) & = & 1 & , & P′(0) & = & 0 \\ P (1) & = & 0 & , & P′(1) & = & 1 \end{matrix}

8. Montrer le théorème de Gauss-Lucas : pour tout polynôme complexe P, les racines de P′ sont incluses dans l’enveloppe convexe de celles de P.

9. Soit P = a_{0}X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ... + a_{n} ∈ ℂ[X]. On pose r = \frac{∑_{i=0}^{n}|a_{i}|}{|a_{0}|} Montrer que tous les zéros de P sont dans la boule B(0, r) du plan complexe.

5 Fractions rationnelles

1. Pour n ∈ ℕ^{∗}, trouver toutes le nombre de solutions en nombres entiers strictement positifs de l’équation x + 2y = n. En déduire sans calcul le développement en série entière de \frac{X^{3}}{(1−X^{2})(1−X)}

2. Réduire en éléments simples la fraction rationnelle :

\frac{1}{(1 − X)(1 − X^{2})(1 − X^{4})}

De combien de façons différentes peut-on payer 7 euros à l’aide de pièces de 5, 10 et 20 cents ?

3. Soit P ∈ ℂ[X]. Montrer que l’ensemble des racines de P′ est inclus dans l’enveloppe convexe de celles de P.

4. On se donne une famille (x_{1}, ..., x_{n}) de complexes deux à deux distincts et P = ∏_{k=1}^{n} X − x_{k}. Calculer ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{P′(x_{k})}. Plus généralement, ni n ⩾ 2 et Q ∈ ℂ_{n−2}[X], montrer que ∑_{k=1}^{n} \frac{Q(x_{k})}{P′(x_{k})} = 0.

6 Révisions sur ℝ et vocabulaire de topologie

1. Soit (x_{n})_{n∈ℕ} une suite de réels. Sachant que les suites extraites (x_{2n}), (x_{2n+1}) et (x_{3n}) sont convergentes, montrer que (x_{n}) converge. Les deux premières hypothèses suffisent-elles ?

2. Montrer que le nombre log_{10} 5 + log_{10} 3 est irrationnel.

3. Résoudre dans ℕ^{2} l’équation a^{b} = b^{a}.

7 Suites réelles

1. Etudier la suite (u_{n})_{n∈ℕ} définie par u_{0} = \frac{1}{2} et u_{n+1} = \frac{3}{16} + u_{n}^{2}.

2. On définit les suites réelles (u_{n})_{n∈ℕ} et (v_{n})_{n∈ℕ} par : 0 < u_{0} < v_{0} et u_{n+1} = \frac{u_{n}+v_{n}}{2} , v_{n+1} = \sqrt{u_{n}v_{n}}. Etudier leur convergence.

3. Soit la suite définie par u_{0} ∈ ℝ, u_{n+1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u_{n}} ). Converge-t-elle ? Vers quelle valeur ? A quelle vitesse ? Indication : considérer v_{n} = \frac{u_{n}+\sqrt{a}}{u_{n}−\sqrt{a}}.

4. Soit (u_{n})_{n∈ℕ} une suite suite sous-additive, c’est à dire telle que u_{m+n} ⩽ u_{m} + u_{n}. Montrer que (u) converge en décroissant.