Aurélien Garivier  27.02.2003

𝔗𝔇 9 : 𝔈𝔮𝔲𝔞𝔱𝔦𝔬𝔫𝔰 𝔡𝔦𝔣𝔣𝔢́𝔯𝔢𝔫𝔱𝔦𝔢𝔩𝔩𝔢𝔰

1 Objectifs

– Résolution avec Maple des équations différentielles ordinaires.

– Visualisation graphique des résultats.

– Modélisation et visualisation d’expériences numériques.

2 Petits exercices

– Résoudre l’équation différentielle :

\{ \begin{matrix}x′(t) & = & x(t) − y(t) \\ y′(t) & = & x(t) + y(t) \end{matrix}

avec pour condition initiale x(0) = 1 et y(0) = 0. Tracer :

* x(t) et y(t) sur le même graphe, pour t = 0..2π.

* la courbe paramétrée, c’est à dire l’ensemble des points (x(t), y(t)), pour t = 0..2π.

– On considère l’équation différentielle (E) :

x (x^{2} + 1) y′ + (1 − x^{2}) y = \frac{x}{1 + x + x^{2}}

1. Résoudre formellement (E) sur ℝ^{+}.

2. Tracer quelques solutions de (E) sur le même graphe avec la commande plot.

3. Existe-t-il des solutions de (E) sur ℝ?

3 Le modèle de Lotka-Volterra

Pendant la première guerre mondiale, la mobilisation a considérablement réduit la pêche en mer Adriatique. Or on remarqua que, contrairement à l’intuition, la proportion des poissons prédateurs par rapport aux proies a pendant cette période notablement augmenté. Vito Volterra, 1860-1940, tenta de trouver un modèle mathématique qui permette d’expliquer ce phénomène : il proposa de considérer que :

* en l’absence de prédateurs, le nombre de proies croît de manière exponentielle.

* en l’absence de proies, le nombre de prédateurs décroît de manière exponentielle.

* le nombre de proies mangées est proportionnel au nombre de rencontres entre proies et prédateurs.

* le nombre de naissances des prédateurs est également proportionnel au nombre de rencontres entre proies et prédateurs. Soit S (pour sardine) le nombre de proies et R (pour requin) le nombre de prédateurs. Expliquer comment il arriva aux systèmes d’équations différentielles suivant :

\{ \begin{matrix}\frac{dS}{dt} & = & f S & − & δ RS \\ \frac{dR}{dt} & = & m R & + & κ RS \end{matrix}

Le résoudre en cherchant des valeurs pour les paramètres qui n’induisent pas de trop grosses variations, et trouver les différents comportement qualitatifs (extinction, explosion) que l’on peut attendre.

Retrouver également sur les résultats numériques le “phénomène” à l’origine de cette modélisation (c’est à dire introduire dans le modèle la guerre, qui a pour effet d’augmenter artificiellement le taux de fécondité des proies, et visualiser les équilibres avant et après la guerre).

4 Le joggeur et le chien

Un joggeur, qui ne se rend compte de rien et qui effectue ses tours de stade, est surpris au cours de son footing par un chien qui l’attaque en fonçant, à chaque instant, droit sur lui.

Modéliser la situation et trouver un système d’équations différentielles satisfait par la position du chien en fonction de la trajectoire du joggeur.

Chercher dans l’aide de dsolve comment le résoudre. Afficher les résultats pour différentes parcours, et enrichir le modèle en faisant “réagir” le joggeur à l’agression.

PC 2002-2003  Equations différentielles