Aurélien Garivier  06.02.2002

𝔗𝔇 8 : 𝔄𝔩𝔤𝔢̀𝔟𝔯𝔢 𝔩𝔦𝔫𝔢́𝔞𝔦𝔯𝔢 𝔤𝔢́𝔫𝔢́𝔯𝔞𝔩𝔢(𝔰𝔲𝔦𝔱𝔢)

1 Exercices

1. (X) Trouver le minimum de :

f : ℝ^{2} → ℝ, (a, b) → ∫_{0}^{π} [sin x − (ax^{2} + bx + c)]^{2} dx

2. (X) Déterminer les valeurs et vecteurs propres de la matrice : A = ( \begin{matrix}1 + a^{2} & ab & ac \\ ab & 1 + b^{2} & bc \\ ac & bc & 1 + c^{2} \end{matrix} ).

3. Trouver tous les (α, β, γ, a, b, c) ∈ ℝ^{6} tels que la matrice ( \begin{matrix}1 & α & a \\ 1 & β & b \\ 1 & γ & c \end{matrix} ) admette ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) comme

vecteurs propres.

2 Interpolation au sens des moindres carrés

2.1 Présentation du problème

Après avoir effectué une série de mesures d’une variable en fonction d’un paramètre il est fréquent en physique que l’on cherche la “meilleure” relation affine entre la variable et le paramètre.

Cela revient en pratique à reporter dans le plan sous forme de nuage de points les mesures effectuées, et à chercher la droite qui représente le mieux ce nuage de points.

Par exemple, en chimie, on relève la conductivité d’une solution aqueuse en fonction de la concentration d’un ion pour mesurer sa contribution au passage du courant.

2.2 Formalisation mathématique

Mathématiquement, si la variable est représentée par le vecteur y⃗ et le paramètre par le vecteur x⃗, il s’agit de trouver les “meilleurs” α et β tels que ∀i ∈ ℕ_{n}, αx_{i} + β ≈ y_{i}. Cela peut s’écrire matriciellement :

( \begin{matrix}x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ x_{n} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) ≈ ( y_{1} ; ⋮ ; x_{n} )

On appelera A la matrice n × 2 régissant ce système qui, dans le cas général, n’a bien sûr pas de solution. Il s’agira par

conséquent de minimiser l’erreur commise en remplaçant y⃗ par A ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ), c’est à dire en minimisant err(α, β) = ∥e⃗(α, β)) ∥_{2} où

e⃗(α, β) = A ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) − y⃗.

2.3 Résolution

Montrer que err est minimale si et seulement si A ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) est le projeté orthogonal de y⃗ sur ImA, et donc si et seulement si e⃗

est orthogonal à ImA.

En déduire que ^{t}AA ( \begin{matrix}α \\ β \end{matrix} ) = ^{t}Ay⃗ et étudier l’existence et l’unicité de solutions pour cette équation.

2.4 Application

On soumet un dipôle à différentes tensions et on relève l’intensité correspondante. On trouve les résultats suivants :

Tension en Volts 1.1 1.9 3.2 4.0 5.3 Intensité en Milliampères 1.6 2.9 4.9 6.1 8.1

Représenter graphiquement le nuage de points associé à ces mesures et la droite d’interpolation au sens des moindre carrés. Quel est le dipôle en question ?

2.5 Généralisation

Supposons maintenant qu’on veuille représenter nos données non plus seulement par une droite mais par une parabole ou même un polynôme de degré quelconque.

Peut-on adapter la méthode ci-dessus pour résoudre ce nouveau problème ? Que se passe-t-il quand on augmente le degré de l’interpolant ?

Et que faire si l’on attend une loi de la forme y = exp P (x) ou y = \frac{1}{P (x)} , où P est un polynôme quelconque ?

3 Algorithmique

Programmer à la main, en n’utilisant que les fonctions maple “de base”, le pivot de Gauss. Autrement dit, écrire une procédure qui, étant donnée une matrice A et un vecteur y, résoud le système Ax = y sans utiliser

tous les outils fournis par le package linalg.