Aurélien Garivier  20.03.2003

𝔗𝔇 10 : 𝔖𝔢́𝔯𝔦𝔢𝔰 𝔡𝔢 𝔉𝔬𝔲𝔯𝔦𝔢𝔯

1 Transformée de Fourier

1. Soit f la fonction de variable réelle 2-périodique définie par :

∀x ∈ [−1, 1[ , f(x) = 2x^{2} − x^{5}

(a) Tracer le graphe de f.

(b) Calculer les coefficients de Fourier de f en définissant deux fonctions a et b prenant en argument n et retournant respectivement a_{n}(f) et b_{n}(f).

(c) Ecrire une procédure S qui à n associe la somme partielle à n termes de la série de Fourier de f.

(d) Tracer sur la même figure les graphes de f et de la somme partielle de rang 10. Représenter les graphes des sommes partielles de rang 20, 40, 60, 80 et 100 au voisinage du point d’abscisse 1. Commentaire ?

2. En calculant la transformée de Fourier de la fonction 2-périodique coïncidant avec l’identité sur [−1, 1[, et en appliquant l’égalité de Parseval, montrer que

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

2 Potentiel d’un nombre

On part d’un nombre entier. On effectue le produit de ses chiffres, puis le produit des chiffres du résultat trouvé, etc… jusqu’à obtenir un nombre d’un seul chiffre. La longueur de la chaîne obtenue est appelée le potentiel du nombre.

Exemple : le potentiel de 77 est 5 car :

77 → 49 → 36 → 18 → 8

Ecrire une fonction Maple calculant le potentiel d’un nombre. Ecrire un programme de calcul du ou des nombres inférieurs à 1000 de plus fort potentiel.

3 Nombre de zéros à la fin de n!

Ecrire une procédure efficace associant à n le nombre de zéros à la fin de n! (elle doit pouvoir fonctionner avec le nombre 10^{20}, par exemple).

PC 2002-2003  Séries de Fourier