Institut de Mathématiques de Toulouse

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  • Séminaire d’Analyse Réelle

    Lundi 27 novembre 16:00-17:30 - Reda Chhaïbi - Institut de Mathématiques de Toulouse

    Le chaos multiplicatif gaussien sur le cercle et polynômes orthogonaux associés

    Résumé : Cet exposé est basé sur un travail en cours avec J. Najnudel, où nous souhaitons faire le pont entre deux questions.
    D’une part, en 1985, J.P Kahane a introduit une mesure aléatoire dénommée le chaos gaussien multiplicatif. Il s’agit moralement d’une mesure dont la dérivée par rapport à la mesure de Lebesgue est l’exponentielle d’une distribution gaussienne (très) singulière. Un joli argument d’approximation martingale permet de donner un sens à cela, mais laisse inaccessible les propriétés de l’objet limite. Cet objet semble être au coeur de travaux récents en lien avec le modèle de gravité quantique dit de Liouville en 2d (Rhodes, Vargas, Duplantier, Sheffield…). Nous nous intéresserons uniquement au cas du cercle, que l’on pourrait qualifier de géométrie intégrable.
    D’autre part, il est connu depuis Verblunsky (1930s) qu’une mesure sur le cercle est entièrement déterminée par des coefficients dits de réflection ou de Verblunsky. Les polynômes orthogonaux pour cette mesure ainsi que son extension harmonique sur le disque sont bien décrits en terme de ces coefficients de Verblunsky.
    Je présenterai une conjecture qualifiant précisément la loi des coefficients de Verblunsky du chaos multiplicatif, et les résultats partiels que nous avons obtenu dans cette direction. Nos résultats viennent d’une excursion par les matrices aléatoires.

    Lieu : Bât. 1R1, Salle 106

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