Institut de Mathématiques de Toulouse

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Séminaire de lecture M2 Maths Pures

publié le , mis à jour le




  • Jeudi 15 octobre 2015 11:00-12:00 - Julio Rebelo - IMT

    L’evolution de quelques problèmes de systèmes dynamiques et des questions d’actualité

  • Jeudi 22 octobre 2015 11:00-12:00 - Stéphane Lamy

    Groupes agissant sur un espace hyperbolique

    Résumé : On traitera :

    • action de SL_2® sur le disque hyperbolique H²
    • Lemme du ping-pong pour produire des groupes libres, énoncé de l’"alternative de Tits"
    • Notion d’hyperbolicité au sens de Gromov, archétypes : arbre et disque hyperbolique, idée de preuve que le pi_1 d’une surface de genre au moins 2 a un graphe de Cayley hyperbolique.
    • Notion de produit amalgamé et action sur un arbre simplicial (exemple de SL_2(Z), lien avec son action sur H² )

    Lieu : Salle Cavaillès


  • Jeudi 5 novembre 2015 11:00-12:00 - Jacques Sauloy

    Théories galoisiennes et équations fonctionnelles

    Résumé : La théorie de Galois "classique" associe à des équations algébriques des
    groupes finis, mais dans sa forme la plus élaborée elle met en correspondance
    des objets (algébriques, arithmétiques) avec des représentations de groupes
    "abstraits" (i.e. sans structure supplémentaire) ou topologiques.
    De la même manière se sont développées depuis Riemann des théories dites
    "galoisiennes" associant à des équations différentielles (et plus récemment
    d’autres types d’équations fonctionnelles) des représentations de groupes
    munis de structures supplémentaires (groupes algébriques, proqlgébriques,
    différentiels …).
    Je tenterai de donner une idée de ces théories, de leur évolution récente et
    de leurs applications.

    Lieu : Salle Pellos


  • Jeudi 19 novembre 2015 10:00-12:00 - Jade Nardi

    Une introduction à la théorie ergodique : premières propriétés et exemples.

    Résumé : On considère un ensemble X et une application T† : X-> X et on s’intéresse aux orbites d’un point P dans X, c’est-à-dire à l’ensemble T^n(P). Le théorème de récurrence de Poincaré nous affirme que, sous de bonnes conditions, l’orbite de presque tous les points d’une partie A de X rencontre A un nombre infini de fois. Peut-on en savoir plus sur la fréquence de visite de A† ?
    On définit alors les transformations dites ergodiques de X (que l’on munit d’une mesure de probabilité), c’est-à-dire telle que la fréquence asymptotique de visite de l’orbite d’un point dans une partie A soit égale à la mesure de A. On étudiera alors les liens entre l’ergodicité et les propriétés des ensembles et des fonctions invariants par la transformation T.
    Dans une dernière partie, nous étudierons le cas de la transformation (x,y) -> (2x+y,x+y) mod Z^2 sur le tore R^2/Z^2. Ce sera l’occasion, après avoir montré qu’elle est ergodique, de mettre en évidence le caractère ´†presque partout†ª des propriétés énoncées précédemment.

    Lieu : Attention le seminaire aura lieu en la salle MRV_BR211 (à la Maison de la Recherche et de la Valorisation)


  • Jeudi 26 novembre 2015 10:30-12:30 - Fabien Brosset

    Ergodicité et approximation rationnelle

    Résumé : On introduira un système dynamique ([0,1[,P,T) où P est une mesure sur ([0,1[,B([0 ;1[), (mesure de Gauss) et T une application dans L^1([0,1[,P) préservant la mesure P.
    Après quelques rappels sur les fractions continues, on montrera le caractère ergodique du système et on appliquera cela à l’approximation rationnelle des réels.


  • Jeudi 3 décembre 2015 10:00-12:00 - Akrout Leyth

    L’arbre de SL2(Qp)

    Résumé : Cette présentation vise à donner un petit aperçu de l’action de Sl2(Qp) sur un arbre afin d’en déduire certaines propriétés.
    Pour ce faire l’exposé sera scindé en deux parties : une première visant à introduire brièvement le corps des nombres p-adiques Qp et de citer quelques faits bien connus le concernant.
    Une seconde se focalisera sur la construction d’un arbre définit grâce aux nombres p-adiques sur lequel SL2(Qp) agira naturellement.
    Enfin, si le temps nous le permet, nous montrerons que tous sous groupe discret sans torsion de SL2(Qp) est en fait un groupe libre.

    Lieu : Salle Cavailles


  • Mardi 8 décembre 2015 09:00-11:00 - Clément Laroche

    Théorie de Morse et géodésiques

    Résumé : La théorie de Morse expose les relations qui existent entre, d’une part, la topologie d’une variété différentielle et, d’autre part, les variations des fonctions définies sur cette variété. Ainsi, les points critiques (où la différentielle s’annule) d’une fonction suffisamment "générique" révèlent des informations sur la classe d’homotopie de la variété sur laquelle elle est définie.
    Après avoir présenté quelques-unes de ces relations, je compte les appliquer à l’espace des chemins d’une variété. Le résultat final donne la structure des géodésiques reliant deux points d’une variété.

    Lieu : Salle Pellos


  • Jeudi 7 janvier 2016 10:00-12:00 - Jade Nardi

    Développement asymptotique du nombre de partitions d’un entier

    Résumé : Une partition d’un entier naturel n est une collection non ordonnée d’entiers dont la somme vaut n.
    Par exemple, 1 n’admet qu’une seule partition.
    2 en admet 2 car 2=1+1.
    3=1+1+1=2+1 admet 3 partitions.
    On note p(n) le nombre de partitions de n. Peut-on avoir un équivalent de p(n) quand n est grand, voire sa valeur exacte ?
    Ce problème est une excellent occasion de découvrir quelques outils classiques dans l’étude des fonctions arithmétiques, où se mêlent de puissants théorèmes d’analyse et des raisonnements élémentaires d’algèbre et de combinatoire.
    Dans un premier temps, on rappellera quelques résultats standards sur la suite p(n) et la série génératrice associée afin de s’échauffer.
    Ensuite, on détaillera la preuve de l’encadrement de Ramanujan de p(n) : il existe deux constantes H et K positives telles que
    \fracHnexp(2\sqrtn) \leq p(n) \leq \fracKnexp(2\sqrtn)
    On cherche naturellement à raffiner. On déterminera la limite de ln(p(n))/n^1/2 à l’aide d’un théorème taubérien admis.
    Enfin, on énoncera le théorème principal de Hardy et Ramanujan qui donne effectivement un équivalent de p(n) en donnant les idées essentielles de la preuve, si le temps nous le permet.
    Références :
    Asymptotic formulae in combinatory analysis - GH Hardy
    Asymptotic theory of partitions - GH Hardy
    Introduction à la théorie des nombres - Hardy & Wright

    Lieu : Salle Cavailles


  • Vendredi 15 janvier 2016 10:30-12:30 - Fabien Brosset

    Bases de Gröbner dans le cas commutatif.

    Résumé : Après quelques rappels sur les relations binaires nous introduirons la notion de relation confluente et terminative. Nous définirons ensuite sur l’anneau des polyômes A=k[x_1,…x_n], une relation relation confluente et terminative et nous démontrerons l’existence de bases de Gröbner d’un idéal I de A.
    Nous donnerons ensuite quelques applications :

    • base dans le quotient A/I.
    • système d’équations polynomiales.

    Lieu : Salle Cavaillés


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