Institut de Mathématiques de Toulouse

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Dynamiques aléatoires issues de la théorie des représentations de groupes de Lie

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Ce groupe de travail est une invitation à faire dialoguer le calcul des probabilités et la théorie des représentations, sans prérequis.

Pour celà, il est naturel de considérer des systèmes aléatoires dont les probabilités de transition sont concoctées à partir de constantes de structure (dimensions ou multiplicités de représentations).

Le fil conducteur de ce groupe de travail sera de comprendre le théorème de Pitman et ses généralisations. L’énoncé date de 1975 et stipule que la marche aléatoire simple à laquelle on retranche deux fois son infinimum courant a miraculeusement la propriété de Markov. Pourtant un oeil aguerri permet de reconnaître les constantes de structure de la théorie des représentations de SL_2. En effet, en 1996, P. Biane a reconnu derrière le "miracle de Pitman" la théorie des bases cristallines de Kashiwara (http://monge.univ-mlv.fr/~biane/Non_comm_crystals.pdf).

L’étape suivante consistera en une géométrisation de ce point de vue, basée sur les cristaux géométriques au sens de Kazhdan et Berenstein. Il en découle des dynamiques aléatoires sur le groupe qui se tropicalisent en les constructions précédentes. Dans cette théorie là, ce sont les fonctions de Whittaker qui jouent le rôle de charactères. Ces dernières apparaissent dans tellement de domaines (Théorie des nombres, Physique, Probabilités) que D. Bump mentionne "the unreasonable ecclecticness of Whittaker functions" (http://sporadic.stanford.edu/bump/whittaker/intro.html).

Enfin, à travers des exemples, nous donnerons une explication de l’aspect "intégrable" de plusieurs modèles étudiés en physique mathématique dits de la classe KPZ : le mouvement brownien de Dyson des matrices aléatoires, le problème de percolation de temps de dernier passage à poids exponentiels ou le polymère dirigé en poids log-gamma - et sur lesquels il demeure beaucoup de questions ouvertes.




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