Institut de Mathématiques de Toulouse

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SPOT 16 - Séminaire Pluridisciplinaire d’Optimisation de Toulouse

par Delphine Dallariva - publié le

SPOT 16.
Lundi 17 mars 2014.
Lieu : ENSEEIHT, salle des thèses.

14h : Yannick Privat (CNRS-LJLL Paris)

Optimisation de domaine pour l’observabilité d’EDP

Le but de cet exposé est d’étudier des problèmes d’optimisation de forme pour l’équation des ondes ou de la chaleur sur un domaine Omega en dimension quelconque, avec des conditions frontières s’il y a un bord de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. Etant donné un état initial, on peut observer la solution de l’équation sur un sous-ensemble omega de Omega, ou bien la contrôler vers l’équilibre (par exemple à l’aide de la méthode HUM), ou encore la stabiliser (par damping linéaire) avec un contrôle de support omega. Dans les trois cas, on se pose la question de déterminer quel est le "meilleur" domaine possible omega parmi tous les sous-ensembles de Omega de mesure donnée (disons L*mes(Omega) avec 0 < L < 1). Ces questions sont d’abord étudiées à données initiales fixées, puis indépendamment des données initiales : par exemple, on se pose le problème de maximiser la constante d’observabilité parmi les domaines précédents. Il s’avère que ce problème est lié aux propriétés d’ergodicité quantique du domaine Omega, et notamment aux propriétés de type QUE (Quantum Unique Ergodicity). Ce sont des travaux en collaboration avec E. Trélat (Univ. Paris 6) et E. Zuazua (BCAM, Bilbao, Espagne).

15h : Adrien Blanchet (GREMAQ-Univ. Toulouse 1 Capitole)

Applications du transport optimal dans les jeux à potentiel

On s’intéressera à une situation dans laquelle les agents doivent décider où habiter lorsqu’ils arrivent dans une nouvelle ville. L’agent peut, par exemple, vouloir s’installer plutôt en centre ville parce que c’est l’endroit d’où il aura, en moyenne, le moins de chemin à parcourir pour interagir avec ses futures relations. Par contre il faut aussi prendre en compte le fait qu’en centre ville, la compétition est plus grande et donc les appartements plus petits ou plus chers. Mathématiquement, on considère un jeu non-coopératif, non-atomique, anonyme avec un continuum de joueurs. Mathématiquement, soient l’espace $X$ du type des agents, l’espace $Y$ des actions et un coût $c(x,y)$ qui mesure le coà»t d’un agent de type $x$ à prendre une action $y$. La distribution du type des agents $\mu \mathcal P(X)$ étant donné, un agent de type $x$ qui entreprend une action $y$ paie le coût $\Gamma(x,y, \lambda)$ où $\lambda$ est la distribution des actions de l’ensemble des joueurs. La question est de déterminer l’"équilibre" de Nash (= la situation dans laquelle personne n’a intérêt à déménager). Dans une situation très schématique, il est possible de déterminer les équilibres, en utilisant les derniers développements de la théorie du transport optimal. Références : [A. Blanchet, P. Mossay & F. Santambrogio, Existence and uniqueness of equilibrium for a spatial model of social interactions. Pre-print, 2012], [A. Blanchet & G. Carlier, Optimal transport and Cournot-Nash equilibria. Preprint, 2012].