Institut de Mathématiques de Toulouse

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COLLOQUIUM

by Radu Ignat - published on , updated on

Lieu et horaire habituels : Amphi Schwartz, bat. 1R3, un vendredi par mois à 14h

Organisateur : Radu Ignat, Mark Spivakovsky

PROCHAIN(S) EXPOSE(S) :


  • Le 20 octobre 2017 à 14h

Patrick Gérard (Orsay)

Matrices de Hankel, problèmes spectraux inverses et systèmes hamiltoniens intégrables turbulents

Résumé : Les matrices de Hankel sont des opérateurs intervenant dans différents domaines de l’analyse, et qui se définissent très simplement : si c(n) est le terme général d’une suite de nombres complexes, la matrice de Hankel associée est la matrice semi-infinie de coefficients c(j+k). J’essaierai d’expliquer comment résoudre certains problèmes spectraux inverses associés à de tels opérateurs --- c’est-à-dire : comment retrouver les c(n) à partir de la donnée des valeurs propres d’opérateurs construits à partir de la matrice de Hankel associée.
Puis je montrerai comment ce résultat permet d’explorer les propriétés de certains
systèmes hamiltoniens en dimension infinie, présentant la double particularité d’être intégrables et d’admettre des trajectoires génériques turbulentes…en un sens à préciser !


  • Le 17 novembre 2017 à 14h

Betrand Toën (IMT Toulouse)

Formule des traces

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter la "formule des traces", qui évalue
le nombre de points fixes d’un endomorphisme en termes cohomologiques,
et ce dans des contextes variés: topologique, algébrique et enfin non-commutatif.
Je commencerai par un rappel sur la formule des traces de Lefschetz qui donne
le nombre de points fixes d’un endomorphisme continue d’une variété topologique.
Dans un second temps nous verrons la formule des traces de Grothendieck, point de
départ de la solution aux fameuses conjectures de Weil. Enfin, dans la dernière partie de l’exposé, je présenterai une formule des traces dans un cadre de géométrie algébrique non-commutative, que nous appliquerons à un problème ouvert de théorie des singularités.


  • Le XX décembre 2017 à 14h

Dan-Virgil Voiculescu (UC Berkeley)

TBA


  • Le 12 janvier 2018 à 13h30

Nalini Anantharaman (IRMA Strasbourg)

TBA








PRECEDENT(S) EXPOSE(S) :


  • Le 9 juin 2017 à 14h

Gérard Ben Arous (Courant Institute)

Complexity of random functions of many variables: from topology to statistical physics and data science

Abstract : Functions of many variables may be very complex. And optimizing them can be excedingly difficult or slow. Think for instance of the following simple question: How hard is it to find the minimum of a cubic polynomial of many variables? If you chose the cubic polynomial randomly, it is very hard. I will survey recent work describing this phenomenon and its consequences, first from a topology point of view, and introduce an important topological phase transition. I will illustrate this phenomenon first in the case of random functions on the high-dimensional sphere. These random functions happen to be the energy landscapes of important models of statistical physics of disordered media, i.e spherical spin glasses. I will then show how this could be extended to more general models of random functions, and in particular for the random landscapes of statistics of large data sets, and for instance of deep learning algorithms, which are at the heart of many of the recent progress in Data Science. The common mathematical field underlying these different questions is given by Random Matrix Theory, through the classical tool of random geometry, i.e. the Kac-Rice formulae.
The relevant work is joint with mathematical colleagues (Auffinger, Cerny, Jagannath, Subag, Zeitouni) or physicists (Biroli, Cammarota, Fyodorov and Khorunzenko) and Computer Scientists (Yann Le Cun and his team at Facebook).


  • Le 12 mai 2017 à 14h

Dylan Thurston (Indiana University, Bloomington)

The Exceptional Series, Classical and Quantum

Abstract : It is an old theorem that there are four infinite families of
Lie algebras, and few exceptional algebras. Vogel and Deligne observed
that all the exceptional algebras appear to fit inside a single
1-parameter family, analogous to the above families but with only
finitely many points. If this exceptional series of Lie algebras
exist, it should also have a deformation to a "quantum" series of
exceptional Lie algebras that among other things would give a new
2-variable knot polynomial. We present substantial evidence for this
conjecture. This talk presents joint work with Noah Snyder and Scott Morrison.


  • Le 24 mars 2017 à 14h

Philippe Biane (Paris-Est)

Triangles Gog et Magog

Résumé : Ce sont des triangles formés d’entiers positifs comme par exemple
1 2 3
1 3
2
qui apparaissent dans de nombreux problèmes de combinatoire, géométrie, physique statistique, théorie des représentations etc. Bien que leur définition soit complètement élémentaire (il suffit de savoir ce qu’est un nombre entier positif et de savoir comparer deux tels nombres) ces triangles semblent posséder des propriétés mystérieuses, qui sont encore loin d’être élucidées.
J’énoncerai plusieurs problèmes ouverts à leur sujet et je donnerai des résultats partiels vers la solution de certains de ces problèmes. Bien que les énoncés soient, eux aussi, complètement élémentaires (du niveau de la classe de 6e!), les méthodes, elles, ne le sont pas et font intervenir plein de mathématique intéressante.


  • Le 24 février 2017 à 14h

Albert Cohen (Paris 6)

Méthodes parcimonieuses en grande dimension pour
les EDP paramétriques et stochastiques à coefficients lognormaux

Résumé : De nombreux problèmes issus des applications font intervenir des fonctions
d’un très grand nombre de variables. On peut citer en particulier les problèmes de théorie de l’apprentissage, les EDP ou modèles numériques dépendant de variables paramétriques ou stochastiques. Il en découle des difficultés numériques, souvent appelées ’’plaies des grandes dimensions’’.
Nous montrerons comment ces difficultés peuvent être traitées dans le cas
des EDP paramétriques/stochastiques, en faisant appel à des notions d’approximation non-linéaire et de parcimonie. Nous traiterons l’exemple d’une EDP elliptique avec des coefficients de diffusion de forme lognormale, c’est à dire l’exponentielle d’un champ gaussien. La stratégie numérique consiste alors à chercher une approximation par une troncation adaptée d’un développement polynomial de Hermite en les variables stochastiques qui représentent le champ gaussien.
Une conclusion intéressante de notre analyse est que la représentation classique
de Karhunen-Loeve n’est en général pas le meilleur choix du point de vue des propriétés d’approximation du développement polynomial.


  • Le 27 janvier 2017 à 14h

Damien Calaque (Montpellier)

Géométrie symplectique dérivée et formalisme BV-BRST

Résumé: Le formalisme BV-BRST est une sorte d’astuce/algorithme utilisé par les physiciens afin de calculer et de donner un sens à des intégrales mal définies qui apparaissent en théorie de jauge. Le jeu consiste à ajouter des variables, qui peuvent avoir un degré cohomologique non nul, suivant une logique qui échappe parfois aux mathématiciens.
L’objet de cet exposé sera d’expliquer comment certains aspects de ce jeu trouvent une interprétation très naturelle dans le cadre de la géométrie symplectique dérivée.
On saisira cette occasion pour donner une introduction informelle aux idées directrices de cette géométrie symplectique dérivée, dont deux des quatre inventeurs (Pantev, Toën, Vaquié et Vezzosi) sont toulousains !


  • Le 2 décembre 2016 à 14h

Yann Brenier (Ecole Polytechnique)

Comment l’ordre émerge du désordre: des nuages de points browniens à la gravitation de Newton

Résumé: L’observation à un instant T du mouvement brownien d’un nuage de points indistinguables dont on connaît la position initiale conduit naturellement au problème de transport optimal de Monge, comme on le comprend dorénavant bien à la suite d’un article de Schroedinger datant des années 30. En poussant un peu plus loin l’analyse, à l’aide du principe de grandes déviations et de techniques de calcul des variations, on arrive à un système dynamique de particules liée au groupe symétrique, dont on peut ensuite dériver par analyse asymptotique le modèle de gravitation de Newton.


  • Le 18 novembre 2016 à 14h

Elisabeth Bouscaren (Orsay)

Une introduction à la Théorie des Modèles à travers quelques applications à l’algèbre et à la géométrie algébrique.

Résumé : La théorie des modèles est une branche relativement récente de la logique
mathématique (on peut en dater le début dans les années 30), plus proche de
l’algèbre abstraite et de la géométrie algébrique que des questions de fondements des mathématiques. Elle est encore relativement mal connue malgré ses nombreuses
applications en algèbre, en géométrie, et plus récemment en combinatoire.
Dans cet exposé d’introduction au domaine, nous partirons d’applications maintenant
classiques de la théorie des modèles des corps, pour en présenter, de manière
informelle, quelques unes des principales notions et des principaux outils.


  • Le 7 octobre 2016 à 14h

Thierry Levy (Paris 6)

Connexions en physique et en mathématiques

Résumé: La notion de transport parallèle et ses pendants infinitésimaux, les notions de connexion et de dérivée covariante, ont été élaborées dans la deuxième moitié du XIXème siècle suite au travail fondateur de Riemann en géométrie. Ces notions jouent aujourd’hui un rôle fondamental non seulement en mathématiques, mais aussi dans les théories de jauge qui sont au cœur du modèle standard de la physique, la meilleure théorie existante des particules élémentaires et de leurs interactions.
Comment les ondes lumineuses de Huygens et les grains de lumière de Newton sont-ils devenus des connexions ? Comment ces connexions représentent-elles désormais les particules médiatrices des interactions élémentaires ? Comment des idées issues de cette utilisation en physique des connexions ont-elles en retour permis de faire progresser la topologie et la géométrie ?
Cet exposé ne répondra bien sûr pas à toutes ces questions, mais il les abordera, sans supposer aucune familiarité avec la notion de transport parallèle, en prenant pour fil conducteur la question de la définition et du calcul de certaines intégrales sur des espaces de connexions.


  • Le 16 septembre 2016 à 14h

Mihai Putinar (Newcastle)

Poincare variational principle in potential theory

Résumé: The quest for solving Dirichlet problem on domains with a less smooth boundary led Poincare to formulate a simple inner-outer balance of energies problem, for the potential produced by a charge on the boundary. His program, stated in 1897, turned out to be extremely valuable, inspirational and accurate for a good century to follow. Poincare has isolated in this way a spectrum attached to any domain in euclidian space, later known in 2D as the Fredholm spectrum of a planar domain. Carleman’s 1916 doctoral dissertation relates the angle in the boundary to the essential spectrum of what we call today the Neumann-Poincare operator.
The subject was recently revitalized by several competing groups of mathematicians and physicists working on photonics.

The talk will trace the history and evolution of Poincare’s ground breaking idea, from the point of view of modern mathematics. Related topics such as: symmetrizable operators, the Beurling-Schiffer transform, essential spectrum via conformal mapping and certain inverse spectral problems will be exposed at a level accessible to a graduate student in mathematics.


  • Le 20 mai 2016 à 14h

Franck Barthe (Toulouse)

Un peu de géométrie convexe en grande dimension

Résumé: La géométrie classique des convexes (théorie de Brunn-Minkowski
en particulier) a évolué vers des questions en grande dimension,
notamment pour aborder des problèmes naturels venant de géométrie
des espaces de Banach, ou plus récemment de statistiques.
Cet exposé introductif présentera quelques conjectures dont la
difficulté réside dans la grande dimension, ainsi que des résultats
partiels dont les preuves combinent approches géométriques, analytiques
et probabilistes. Sans entrer dans les aspects techniques, on tentera de donner
une (contre)-intuition de certains phénomènes propres à la grande dimension.




  • Le 11 mars 2016 à 14h

Pierre-Louis Lions (Collège de France)

Sur les jeux à champ moyen

Résumé: Cet exposé est consacré à une présentation des jeux à champ moyen
(MFG en abrégé), classe nouvelle de modèles et problèmes mathématiques
introduits et étudiés en collaboration avec Jean-Michel Lasry. Pour simplifier,
les modèles MFG sont des modèles mathématiques qui tentent de décrire
le comportement d’un très grand nombre d’agents qui optimisent leurs actions
tout en prenant en compte et en interagissant avec les autres agents.
Les équations MFG, que l’on peut déduire rigoureusement d’équilibres de
Nash pour des jeux à N joueurs en faisant tendre N vers l’infini, conduisent
à de nouveaux systèmes nonlinéaires d’Equations Différentielles Ordinaires
ou d’Equations aux Dérivées Partielles. De nombreux systèmes
classiques sont des cas particuliers de systèmes MFG comme, par exemple,
les équations d’Euler compressibles, les équations d’Hartree, les équations
de milieux poreux, les équations elliptiques semilinéaires, les équations de
Hamilton-Jacobi-Bellman, les modèles de type Vlasov ou Boltzmann. . . Dans
cet exposé, nous expliquerons à l’aide d’un exemple très simple comment les
modèles MFG sont obtenus et nous présenterons une revue abrégée de la
théorie, de ses connections avec de nombreux autres sujets et de ses applications.




  • Le 12 février 2016 à 14h

John Ball (Oxford)

Interfaces et métastabilité dans les cristaux solides et liquides

Résumé: Quand une nouvelle phase est nucléée lors d’une transformation de phase solide martensitique, elle doit s’adapter géométriquement à ​​la phase mère, avec la formation d’interfaces entre les phases et de microstructure éventuellement complexe. L’exposé décrira quelques problèmes mathématiques impliqués dans la compréhension de ces questions de compatibilité et leur influence sur la métastabilité, comme le montrent les découvertes expérimentales récentes.
Pour les cristaux liquides, les défauts planaires (par opposition aux défauts mono ou unidimensionnels) ne sont généralement pas pris en compte, mais il y a des situations dans lesquelles ils semblent être pertinents, par exemple pour les films minces de smectiques A où les problèmes de compatibilité comparables à ceux des matériaux martensitiques se posent.



  • Le 22 janvier 2016 à 14h

Jean-François LE GALL (Orsay et IUF)

Géométrie aléatoire sur la sphère

Résumé: Considérons une triangulation de la sphère choisie aléatoirement,
de manière uniforme, parmi toutes les triangulations ayant un
nombre fixé de faces (deux triangulations sont identifiées si
on passe de l’une à l’autre par un homéomorphisme direct
de la sphère). On munit l’ensemble des sommets de cette
triangulation de la distance de graphe usuelle. Nous montrons que,
quand le nombre de faces tend vers l’infini, l’espace métrique
ainsi obtenu, convenablement changé d’échelle, converge
en loi, au sens de la distance de Gromov-Hausdorff, vers un
espace métrique compact aléatoire appelé la carte brownienne.
Ce résultat, qui répond à un problème posé par Schramm,
reste vrai pour des classes beaucoup plus générales de graphes
plongés dans la sphère. La carte brownienne apparaît ainsi
comme un modèle universel de surface aléatoire, homéomorphe
à la sphère mais de dimension de Hausdorff égale à 4.



  • Le 11 décembre 2015 à 14h

Sylvia Serfaty (Paris 6)

Modèles effectifs pour Ginzburg-Landau

Résumé: Les équations de Ginzburg-Landau modélisent la supraconductivité, la superfluidité et les condensats de Bose-Einstein. Un élément caractéristique est la présence de tourbillons (ou vortex) quantifiés, qui sont les zéros topologiques de la solution à valeurs complexes. On présentera des résultats de dérivation de modèles effectifs pour décrire la statique et la dynamique de ces vortex, avec une attention particulière pour la situation où le nombre de vortex diverge avec les paramètres du problème. En particulier, on donnera un nouveau résultat de dérivation d’une limite de champ moyen pour la dynamique d’un grand nombre de vortex partant de l’équation de Ginzburg-Landau parabolique ou l’équation de Gross-Pitaevskii (= Ginzburg-Landau-Schrodinger).




  • Le 6 novembre 2015 à 14h

Pierre Pansu (Orsay)

Qu’est ce que la géométrie conforme métrique

Résumé : La géométrie métrique, c’est celle qui s’occupe d’espaces
métriques. Qui ressemble à qui, qui peut être envoyé dans qui, en
déformant à quel point la distance ? La géométrie conforme (celle du
théorème de représentation conforme), a eu ses premiers résultats
métriques (distorsion métrique de la représentation conforme) au début
du XXème siècle. La nouveauté, c’est qu’on peut même faire de la
géométrie conforme à grande échelle, et donc, de la géométrie conforme
des groupes.




  • Le 2 octobre 2015 à 14h

Patrick Popescu-Pampu (Lille)

Les matroïdes et la géométrie algébrique

Résumé : Les matroïdes sont des objets combinatoires introduits par
Whitney en 1935 afin d’unifier les graphes et les configurations finies de
vecteurs sur n’importe quel corps. Si le matroïde d’un graphe se réalise toujours
par des vecteurs sur tout corps, il existe par contre des matroïdes qui ne
se réalisent sur aucun corps. Un invariant fondamental d’un matroïde
est son polynôme caractéristique, qui généralise le polynôme chromatique
d’un graphe. Une conjecture de Rota de 1970 prédit que, pris en valeur absolue,
ses coefficients forment une suite logarithmiquement concave. J’expliquerai
comment June Huh prouva cette conjecture en 2012 pour les matroïdes qui
se réalisent sur les corps de caractéristique nulle, ainsi que la preuve qu’il a obtenue
en collaboration avec Eric Katz pour le cas d’un corps quelconque. Enfin, je dirai
peut-être quelques mots de la preuve complète de la conjecture de Rota, que
Huh et Katz ont obtenue très récemment en collaboration avec Karim Adiprasito.
Toutes ces preuves passent par la géométrie algébrique, tout en étant de plus
en plus tropicales.




  • Le 25 septembre 2015 à 14h

Emmanuel Trélat (Paris 6)

Quantum ergodicity for sub-Riemannian Laplacians.

Abstract: Shnirelman proved in 1974 the following theorem:
"Let (X,g) be a closed Riemannian manifold with ergodic geodesic flow, and let (\phi_n,\lambda_n) be a spectral decomposition of the Laplacian. Then there exists a density-one sequence (n_j) of integers such that the sequence of probability measures |\phi_n_j|^2 dx_g (with dx_g the Riemannian measure) converges weakly to the measure dx_g."
In this talk I will give a version of that theorem for sub-Riemannian Laplacians on a 3D contact manifold, and I will discuss possible extensions to other SR geometries.
This is a joint work with Yves Colin de Verdière (Grenoble) and Luc Hillairet (Orléans).




  • Le 12 juin 2015 à 14h

Robert L. Jerrard (Toronto)

Weak solutions of the binormal curvature flow.

Abstract: The binormal curvature flow is a geometric evolution equation
that is conjectured to describe the dynamics of vortex filaments in ideal
fluids in certain limits. Non-smooth solutions of the binormal curvature
flow arise naturally both from the conjectured relationship to fluid dynamics.
Recent heuristic and numerical studies also suggest that such non-smooth
solutions may exhibit very rich behaviour. Motivated in part by these
considerations, we introduce a notion of weak solutions of the binormal
curvature flow, and we use it to demonstrate unexpected stability properties
(or more correctly, control of instability) of the flow. Among other applications,
this provides stronger evidence than has been available until now in support
of the conjectures relating the binormal curvature flow to vortex filaments
in ideal fluids.

Historique : http://www.math.univ-toulouse.fr/~b...