Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 9

Exercice 1 Cubiques planes (singulières)

Montrer qu’il existe (à isomorphisme près) une seule cubique plane admettant trois points singuliers distincts. Pouvez-vous trouver 3 cubiques admettant chacune une seule singularité et qui ne soient pas 2 à 2 isomorphes ?

Exercice 2

Calculer les multiplicités d’intersection au point (0, 0) des courbes affines planes suivantes :

1. 𝕍(Y^{2} − X^{3} − X^{2}) et 𝕍(Y^{2} − X^{3});

2. 𝕍(Y − X^{2}) et 𝕍(Y^{2} − X^{3});

3. 𝕍((X^{2} + Y^{2})^{2} + 3X^{2}Y − Y^{3}) et 𝕍((X^{2} + Y^{2})^{3} − 4X^{2}Y^{2}).

Exercice 3 Théorème de Noether

Soient p ∈ ℙ_{k}^{2}, F, G, H trois courbes passant par p avec F et G sans composante commune. On dit que F, G et H satisfont la condition de Noether au point p s’il existe a, b ∈ O_{p}(ℙ_{k}^{2}) tels que H = aF + bG dans O_{p}(ℙ_{k}^{2}).

1. Montrer que si p est un point non singulier de F et si I_{p}(H ∩ F) ≥ I_{p}(G ∩ F), alors F, G et H satisfont la condition de Noether au point p.

2. Montrer que si F, G et H satisfont la condition de Noether en tout point de G ∩ F alors il existe A, B deux polynômes homogènes tels que H = AF + BG.

3. Montrer que si tous les points de F ∩G sont des points non singuliers de F, et si H.F ≥ G.F, alors il existe une courbe B telle que B.F = H.F − G.F.

Exercice 4 Cubiques planes (intersection)

Soient C ⊂ ℙ_{k}^{2} une cubique irréductible, C′ et C′′ deux autres cubiques. Supposons que C.C′ = ∑_{i=1}^{9} p_{i} où les p_{i} sont des points non singuliers (éventuellement non distincts) de C. Supposons par ailleurs que C.C′′ = ∑_{i=1}^{8} p_{i} + q. Montrer à l’aide du théorème de Noether que q = p_{9}.

Exercice 5 Cubiques planes (loi de groupe) Soit C ⊂ ℙ_{k}^{2} une cubique irréductible. On définit une application f : C × C → C en posant f(x, y) = z où z est le troisième point commun de C et de l’unique droite passant par x et y.

1. f munit-il C d’une loi de groupe ?

2. On fixe w ∈ C, et on pose, pour tous x, y ∈ C :

x + y = f(w, f(x, y)).

Montrer que C, + est un groupe abélien.

3. En fait C, + est un groupe algébrique. Le vérifier pour C = 𝕍(Y^{2}Z −X(X −Z)(X −λZ)), λ ≠ 0, 1 et w = [0 : 1 : 0].

Exercice 6 Cubiques planes (points d’ordre 2 et 3) Soit C une cubique plane non singulière, w un point d’inflexion de C (i.e. I_{w}(C ∩ L) ≥ 3 où L est la tangente à C en w), et + la loi d’addition sur C avec neutre w.

1. Montrer qu’une droite passant par deux points d’inflexion de C coupe C en un troisième point qui est aussi un point d’inflexion.

2. Montrer que les points d’inflexion forment un sous-groupe de C.

3. Montrer que les points d’inflexion sont exactement les points d’ordre 3 dans C.

4. Si C = 𝕍(Y^{2}Z − X(X − Z)(X − λZ)), λ ≠ 0, 1 et w = [0 : 1 : 0], trouver les points d’ordre 2 sur C.

5. En général, montrer que les points d’ordre 2 sur une cubique non singulière forment un groupe isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.