Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 8

Exercice 1

Soient C = 𝕍(Y − X^{3}) ⊂ 𝔸_{k}^{2} et C̄ ⊂ ℙ_{k}^{2} la courbe projective correspondante. Quel est le polynôme qui définit C̄ ? Quels sont les points singuliers de C̄ ?

Exercice 2 Automorphismes de ℙ_{k}^{2}

On rappelle le théorème de Bézout : “si C_{1} et C_{2} sont deux courbes dans ℙ_{k}^{2} de degrés respectifs d_{1} et d_{2}, alors C_{1} ∩ C_{2} = d_{1}.d_{2} points comptés avec multiplicité.” En déduire que le groupe des automorphismes de ℙ_{k}^{2} est isomorphe à PGL(3, k). Quels sont les automorphismes de ℙ_{k}^{2} qui envoient la droite à l’infini sur l’axe des y, et le point [1 : 0 : 0] sur [0 : 0 : 1] ? Quelle est l’image de la droite y = α par un tel automorphisme ? Quelle est l’image de 𝕍(x − y^{2}) ?

Exercice 3 Application quadratique standard

On considère l’application

σ : [x : y : z] → [yz : xz : xy]

appelée application quadratique standard. Quel est le domaine de définition de σ ? Montrer que σ induit un isomorphisme entre deux ouverts de Zariski. Quel est l’inverse de σ ? Exprimer σ dans la carte affine canonique (i.e. sur 𝔸^{2} = {z ≠ 0}). Quelle est l’image d’une droite par σ (plusieurs cas à distinguer) ?

Exercice 4 Applications rationnelles

Soient f_{1}, f_{2} et f_{3} trois polynômes homogènes de degré d en les variables x, y, z. Montrer que l’application

f : [x : y : z] → [f_{1}(x, y, z) : f_{2}(x, y, z) : f_{3}(x, y, z)]

est bien définie sur un ouvert de Zariski, et que f peut être prolongée sur ℙ_{k}^{2} tout entier sauf un nombre fini de points. En déduire que pour toute courbe C ⊂ ℙ_{k}^{2} on peut définir f(C), et donner un exemple où f(C) est réduit à un point.

Exercice 5 la cubique gauche

Soit C ⊂ 𝔸_{k}^{2} la cubique gauche, i.e. C = 𝕍(Y − X^{2}, Z − X^{3}). Ecrire les homogénéisés f̃ et g̃ des polynômes Y − X^{2} et Z − X^{3}. Combien la courbe projective 𝕍(f̃, g̃) admet-elle de composantes connexes ? Soit C̄ la courbe projective qui prolonge C. Quel est l’idéal 𝕀(C̄) ? Quel sont les points singuliers de C̄ ?

Exercice 6

Soient P_{1}, P_{2} et P_{3} trois points dans ℙ_{k}^{2} qui n’appartiennent pas à une même droite. Montrer qu’il existe un isomorphisme de ℙ_{k}^{2} qui envoie P_{1}, P_{2} et P_{3} sur [0 : 0 : 1], [1 : 0 : 0] et [0 : 1 : 0].

Exercice 7

Montrer que l’ensemble des droites de ℙ_{k}^{2} peut être muni d’une structure de variété algébrique qui le rend isomorphe à ℙ_{k}^{2}. De même, montrer que l’ensemble des coniques (i.e. les courbes planes de degré 2) est isomorphe à ℙ_{k}^{5}. Qu’en est-il de l’ensemble des coniques passant par 3 points fixés ?