Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 7

Exercice 1

Soit A ≠ {0} une k-algèbre unitaire de type fini sans élément nilpotent (à part 0). Notons X l’ensemble des idéaux maximaux de A, et pour tout x ∈ X, λ_{x} : A → k l’unique morphisme de k-algèbre de noyau x.

1. Pour f ∈ A, on définit f̄: X → k par f̄(x) := λ_{x}(f) où x ∈ X. Montrer que f → f̄ est injective.

2. Montrer que (X, A) est une variété affine.

Exercice 2 anneaux locaux

Soit X une variété affine irréductible, et p ∈ X. Un germe de fonction régulière en p est la donnée d’un couple (f, U) où U est un ouvert contenant p et f est une fonction régulière sur U, modulo la relation d’équivalence :

(f, U) ∼ (g, V) si f = g sur U ∩ V.

On note O_{p} l’anneau des fonctions régulières en p, on l’appelle l’anneau local de X en p.

1. Montrer qu’il existe des injections naturelles

A[X] ⊂ O_{p} ⊂ A(X).

2. Montrer que O_{p} contient un unique idéal maximal.

3. Montrer que A[X] = ∩_{p∈X}O_{p} (intersection dans A(X)).

4. Montrer que O_{p} est noethérien.

Exercice 3 applications finies

On rappelle qu’étant donné B un anneau et A un sous-anneau, on dit que b ∈ B est entier sur A s’il satisfait une équation

b^{k} + a_{1}b^{k−1} + ⋯ + a_{k} = 0 avec a_{i} ∈ A.

On dit que B est entier sur A si tout élément de B est entier sur A.

1. Soient X, Y deux ensembles algébriques sur un corps k algébriquement clos et f : X → Y une application régulière avec f(X) dense dans Y. Montrer que f^{∗} définit une inclusion A[Y] → A[X], on peut ainsi voir A[Y] comme un sous-anneau de A[X]. On dit que f est une application finie si A[X] est entier sur A[Y].

2. Montrer que si f est une application finie alors chaque point y ∈ Y admet au plus un nombre fini de préimages.

3. Montrer qu’une application finie est surjective. [indication : écrire les équations définissant f^{−1}(y)]

4. Donner un exemple de morphisme f : X ⊂ 𝔸_{k}^{2} → 𝔸_{k}^{1} qui ne soit pas une application finie mais dont la préimage de tout point t ∈ 𝔸_{k}^{1} soit un ensemble fini, et tel que f(X) soit dense dans 𝔸_{k}^{1}.

Exercice 4 Variétés normales

Soit X une variété affine irréductible. On note K le corps des fractions de A[X]. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes (si l’une d’elles est vérifiée on dit que X est normale) :

1. A[X] est intégralement clos dans K;

2. A[X]_{f} est intégralement clos dans K pour tout 0 ≠ f ∈ A[X];

3. O_{p} est intégralement clos dans K pour tout p ∈ X.

Exercice 5 ensembles constructibles

Soit X un espace topologique. On dit que Y ⊂ X est localement fermé si Y est l’intersection d’un ouvert et d’un fermé de X. On dit que Y est constructible si Y est une union finie d’ensembles localement fermé.

1. Montrer que l’ensemble des ensembles constructibles de X est stable par union finie, intersection finie et passage au complémentaire.

2. Supposons X noetherien, et soit Y ⊂ X un ensemble constructible. Montrer qu’il existe U ⊂ Y tel que U soit ouvert et dense dans Ȳ.