Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 6

Exercice 1

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p ≠ 2. Soit w ∈ k tel que w^{2} = −2.

1. Montrer que les matrices de la forme [ \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ] et [ \begin{matrix}1 & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ] engendrent SL(2, k).

2. Montrer qu’il existe une action SL(2, k) × k[X, Y] → k[X, Y] qui laisse invariant chaque sous-espace V_{k} ⊂ k[X, Y] des polynômes homogènes de degré k.

3. En exprimant l’action de SL(2, k) sur V_{2} dans une base adéquate, montrer qu’il existe un unique morphisme de groupe algébrique φ : SL(2, k) → SO(3, k) tel que

φ : [ \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}1 & wt & t^{2} \\ 0 & 1 & −wt \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] et [ \begin{matrix}1 & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ] ↦ [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ wt & 1 & 0 \\ t^{2} & −wt & 1 \end{matrix} ] .

Montrer que φ est surjective et de noyau égal à {±Id}.

Exercice 2 cône tangent

Soit X ⊂ 𝔸_{k}^{n} un ensemble algébrique irréductible contenant x = (0, ⋯, 0). On pose :

X̃ = {(t, a) ∈ 𝔸^{1} × 𝔸^{n}; t.a ∈ X}

et on note φ : X̃ → 𝔸^{1} et ψ : X̃ → 𝔸^{n} les deux projections.

1. Montrer que X̃ est fermé et décrire ses composantes irréductibles (l’une d’elles est X̃_{1} = \overline{φ^{−1}(𝔸^{1} \ \{0\})}).

2. On note φ_{1} et ψ_{1} les restrictions de φ et ψ à X̃_{1}. Montrer que T_{x} = ψ_{1}(φ_{1}^{−1}(0)) est un cône: on l’appelle le cône tangent à X en x.

3. Dans le cas où X = 𝕍(f) est une hypersurface, donner l’équation du cône T_{x}. Comment ce résultat se généralise-t-il au cas d’un X irréductible quelconque ?

Exercice 3 règle de Cramer

Soient A un anneau, et v_{1}, ⋯, v_{n} des vecteurs colonnes de dimension n à coefficients dans A. Soit

w = a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n} avec a_{i} ∈ A.

Montrer que pour tout i on a

a_{i} det(v_{1}, ⋯, v_{n}) = det(v_{1}, ⋯, w, ⋯, v_{n})

où dans le terme de droite w apparait en ième position.

Exercice 4 lemme de Nakayama

Soient A un anneau commutatif unitaire, I ∈ A un idéal et M un A-module de type fini.

1. Montrer que si M = I.M, alors il existe f ∈ 1 + I tel que f.M = 0.

2. Supposons maintenant que A est local avec I ⊂ A comme unique idéal maximal. Montrer que si N ⊂ M est un sous-module satisfaisant M = I.M + N alors M = N.

Exercice 5

Soient V ⊂ 𝔸_{k}^{n} et W ⊂ 𝔸_{k}^{m} deux ensembles algébriques.

1. Soit φ : V → W une application régulière. Soient Z = \overline{φ(V)} ⊂ W, p ∈ V et q = φ(p) ∈ Z.

Montrer les inclusions

d_{p}φ(T_{p}(V)) ⊂ T_{q}(Z) ⊂ T_{q}(W).

2. Soient p ∈ V et q ∈ W. Montrer que T_{(p,q)}(V × W) = T_{p}(V) ⊕ T_{q}(W).

Exercice 6 Espace tangent de Zariski

Soit X ⊂ 𝔸_{k}^{n} un ensemble algébrique. On note Θ_{x} l’espace tangent à X en x, et pour tout polynôme F ∈ k[T_{1}, ⋯, T_{n}] on note d_{x}F la forme linéaire :

d_{x}F = ∑_{i=1}^{N} \frac{∂F}{∂T_{i}} (x)dT_{i}.

1. Montrer que pour tout ḡ ∈ A[X] la forme linéaire

d_{x}ḡ : Θ_{x} → k
v → d_{x}g(v)

est bien définie.

2. Montrer que l’application d_{x} : A[X] → Θ_{x}^{∗}, où Θ_{x}^{∗} est le dual de Θ_{x}, se restreint en une application surjective d_{x} : 𝔪_{x} → Θ_{x}^{∗}, où 𝔪_{x} = {f̄ ∈ A[X]; f(x) = 0}.

3. Montrer que d_{x} induit un isomorphisme entre les espaces vectoriels 𝔪_{x}/𝔪_{x}^{2} et Θ_{x}^{∗} (on pourra commencer par se ramener à x = 0).