Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 5

Exercice 1

Soit k un corps algébriquement clos.

1. Déterminer les points singuliers de V = 𝕍({f}) ⊂ 𝔸_{k}^{2} pour chacun des polynômes suivants de k[X, Y] : Y^{2} − X^{2}(X + 1), Y^{2} − X(X^{2} + 1), Y^{2} − X^{3}. Même question pour f = X^{2} − Y^{2}Z ∈ k[X, Y, Z] et l’ensemble V = 𝕍({f}) ⊂ 𝔸_{k}^{3} associé.

2. Soit V = 𝕍({ZX, Y Z}) ⊂ 𝔸_{k}^{3}. Montrer qu’il existe des points p ∈ V tels que dim T_{p}(V) < dim V. Interprétation ?

Exercice 2

Soit k un corps algébriquement clos, et V ⊂ 𝔸_{k}^{n} un ensemble algébrique irréductible. Supposons que dim V = d. Montrer qu’il existe des polynômes f_{1}, ⋯, f_{n−d} ∈ k[X_{1}, ⋯, X_{n}] tels que V soit une composante irréductible de 𝕍({f_{1}, ⋯, f_{n−d}}).

Exercice 3

Soit V = 𝕍(f) ⊂ 𝔸_{k}^{n} une hypersurface, on note

Σ = {p ∈ V; p est un point singulier de V }.

Montrer que si V_{1} et V_{2} sont deux composantes irréductibles distinctes de V, alors V_{1} ∩ V_{2} ⊂ Σ. (Remarque : ce résultat est en fait valable pour un ensemble algébrique V quelconque).

Exercice 4

Soit X un ensemble algébrique composé de deux composantes irréductibles X_{1} et X_{2}. Soit x ∈ X_{1} ∩ X_{2}, montrer que l’on a

T_{x}(X_{1}) + T_{x}(X_{2}) ⊂ T_{x}(X)

et donner un exemple où cette inclusion est stricte.

Exercice 5

Soient C_{1} ⊂ 𝔸_{k}^{3} la courbe constituée des trois axes de coordonnées, et C_{2} ⊂ 𝔸_{k}^{2} définie par l’équation xy(x − y) = 0. Les courbes C_{1} et C_{2} sont-elles isomorphes ?

Exercice 6

Soient k un corps algébriquement clos, et C_{a} ⊂ 𝔸_{k}^{2} la courbe définie par l’équation x^{3} + y^{3} + 1 + a(x + y + 1)^{3} = 0. Décrire les points singuliers de C_{a} ainsi que ses composantes irréductibles.

Exercice 7 Soit k un corps algébriquement clos.

1. Soit U_{n}(k) ⊂ SL(n, k) le groupe des matrices triangulaires supérieures avec 1 sur la diagonale. Déterminer l’espace tangent en Id de U_{n}(k).

2. Même question avec T_{n}(k) ⊂ SL(n, k) le groupe des matrices diagonales de déterminant 1.

Exercice 8 On rappelle que

Sp_{2m}(k) = {A ∈ M_{2m}(k);^{t}AQA = Q}

où Q = (c_{i,j}) avec \{ \begin{matrix}c_{2m+1−k,k} = −1 pour k = 1, ⋯, m \\ c_{2m+1−k,k} = 1 pour k = m + 1, ⋯, 2m \end{matrix}

On se propose de montrer que T_{Id}(Sp_{2m}(k)) = {A ∈ M_{n}(k);^{t}AQ + QA = 0}. 1. Si A = (a_{i,j}), calculer les coefficients des matrices ^{t}AQA et ^{t}AQ + QA.

2. Montrer que T_{Id}(Sp_{2m}(k)) ⊂ {A ∈ M_{n}(k);^{t}AQ + QA = 0}.

3. Décrire le groupe D de toutes les matrices dans Sp_{2m}(k) qui sont diagonales.

4. Décrire le groupe U (resp. U′) de toutes les matrices dans Sp_{2m}(k) qui sont triangulaires supérieures (resp. inférieures) avec des 1 sur la diagonale.

5. Montrer qu’il existe une injection T_{Id}(U) ⊕ T_{Id}(D) ⊕ T_{Id}(U′) → T_{Id}(Sp_{2m}(k))

6. Conclure.