Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 4

Exercice 1

Soit G un groupe algébrique, et soient U et V deux ouverts denses dans G. Montrer que U.V = G.

Exercice 2

Soit k un corps.

1. Montrer que les groupes G_{a} et G_{m} peuvent être vus comme des sous-groupes de GL(2, k).

2. Montrer que les groupes G_{a} et G_{m} ne sont pas isomorphes.

Exercice 3

1. Montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe algébrique G qui est fermé, qui contient e et qui est stable par multiplication est un sous-groupe de G.

2. Un sous-groupe d’un groupe algébrique engendré par deux sous-ensembles fermés est-il forcément fermé ?

Exercice 4

Montrer que l’ensemble des matrices

{M ∈ M(n, ℂ); exp(tM) ∈ SL(n, ℂ) ∀t ∈ ℝ}

est égal à l’espace tangent en Id à SL(n, ℂ). Donner une base de cet espace dans le cas n = 2, et exprimer le crochet de Lie dans cette base.

Exercice 5

Soit k un corps de caractéristique p > 0. Montrer que la recette suivante munit 𝔸_{k}^{2} d’une structure de groupe algébrique : soient q, r des puissances de p , on définit

(a, b).(c, d) = (a + c, b + d + a^{q}c^{r}).

Pouvez-vous réaliser ce groupe comme un sous-groupe de GL(n, k) ?

Exercice 6

Soit G un groupe algébrique connexe, et H un sous-groupe fini normal. Montrer que H est contenu dans le centre de G (montrer que l’hypothèse G connexe est nécessaire en donnant un exemple).