Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 3

Exercice 1

Soient k un corps algébriquement clos et V ⊂ 𝔸_{k}^{n} un ensemble algébrique irréductible. Montrer les propriétés suivantes :

1. dim V = 0 si et seulement si V est un singleton;

2. dim V = n − 1 si et seulement si V est une hypersurface;

3. dim V = n si et seulement si V = 𝔸_{k}^{n}.

Exercice 2

La cubique gauche C est-elle isomorphe à 𝔸^{1} ? Quel est le polynôme de Hilbert de C ? de 𝔸^{1} ?

Exercice 3

Soient X, Y deux ensembles algébriques et ϕ : X → Y un morphisme tel que ϕ(X) soit dense dans Y. Montrer que l’application induite ϕ^{∗} : A[Y] → A[X] est injective.

Exercice 4

Soient X, Y deux ensembles algébriques et p : X × Y → X la projection sur le premier facteur. Le morphisme p est-il une application ouverte ? fermée ?

Exercice 5 L’application de Frobenius

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p. Considérons ϕ : 𝔸_{k}^{1} → 𝔸_{k}^{1}, x → x^{p}. Le morphisme ϕ est-il injectif ? surjectif ? Qu’en est-il de l’application induite ϕ^{∗} : k[X] → k[X] ? Conclusion ?

Exercice 6

Considérons l’application régulière f : 𝔸_{k}^{2} → 𝔸_{k}^{2} définie par f(x, y) = (x, xy). Quelle est l’image f(𝔸_{k}^{2}); est-elle ouverte dans 𝔸_{k}^{2} ? Est-elle dense ? fermée ? Mêmes questions avec l’application g : 𝔸_{k}^{3} → 𝔸_{k}^{3} définie par g(x, y, z) = (x, xy, xyz).

Exercice 7

Soit X ⊂ 𝔸_{k}^{2} la courbe plane définie par y^{2} = x^{3}.

1. Donner une description des éléments de A[X];

2. l’application régulière f : 𝔸_{k}^{1} → X définie par f(t) = (t^{2}, t^{3}) est-elle injective ? surjective ? est-ce un isomorphisme ?

Exercice 8 Un isomorphisme f : X → X d’un ensemble algébrique dans lui-même est appelé un automorphisme.

1. Déterminer tous les automorphismes de la droite affine 𝔸_{k}^{1}.

2. Pouvez-vous donner un exemple d’automorphisme non-linéaire du plan affine 𝔸_{k}^{2} ?

3. Etant donné un automorphisme f : 𝔸_{k}^{n} → 𝔸_{k}^{n} défini par

f(x_{1}, ⋯, x_{n}) = (P_{1}(x_{1}, ⋯, x_{n}), ⋯, P_{n}(x_{1}, ⋯, x_{n})), on appelle jacobien de f le déterminant J(f) = det (\frac{∂P_{i}}{∂x_{j}} ). Montrer que f → J(f) est un homomorphisme du groupe des automorphismes de 𝔸_{k}^{n} dans le groupe multiplicatif k^{∗}.

Exercice 9

1. Montrer que toute conique dans 𝔸^{2} est isomorphe ou bien à 𝔸^{1} ou bien à 𝔸^{1} \ {0}.

2. Montrer que deux courbes quelconques sont homéomorphes (pour la topologie de Zariski bien sûr!), puis donner un exemple de deux courbes qui ne sont pas isomorphes.

Exercice 10 Soit k un corps, on pose A = k[X, Y]/(XY). Montrer que Frac(A) = k(X̄) ⊕ k(Ȳ). Trouver des diviseurs de zéro dans Frac(A).