Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 2

Exercice 1 notion de dimension

Soit X ⊂ 𝔸^{n} un ensemble algébrique irréductible . On appelle dimension de X le sup des entiers n tels qu’il existe une suite d’ensemble algébriques irréductibles

∅ ≠ X_{0} ⫋ X_{1} ⫋ ⋯ ⫋ X_{n} = X.

1. Montrer que la dimension de X est un entier.

2. Que peut-on dire de la dimension d’un point ? d’un espace vectoriel ?

Exercice 2 un exemple (fondamental) de localisation

Soit A un anneau commutatif et 0 ≠ f ∈ A. On définit

A_{f}:=A[X]/(fX − 1).

On définit un morphisme d’anneau ι : A → A_{f} en composant l’inclusion naturelle A ⊂ A[X] avec la projection canonique sur A_{f}.

1. Déterminer Ker(ι).

2. En déduire que

ι injective ⇔ f n’est pas un diviseur de zéro.
1 = 0 dans A_{f} ⇔ f nilpotent
f non nilpotent ⇔ ι(f) inversible dans A_{f}.

3. Supposons f non nilpotent. Si α : A → B est un morphisme d’anneaux unitaires tel que α(f) soit inversible dans B, montrer qu’il existe un unique morphisme ᾱ : A_{f} → B tel que α = ᾱ ∘ ι.

4. Soit I ⊂ A un idéal tel que f^{n} ∉ I pour tout n ≥ 0. Soit f̄ l’image de f dans A/I et I_{f} l’idéal engendré par ι(I) dans A_{f}. Montrer que (A/I)f̄ ≃ A_{f}/I_{f}.

5. Supposons que A est intègre, notons K son corps des fractions et α : A → K l’inclusion naturelle. Montrer que ᾱ : A_{f} → K est injectif. Quelle est son image ?

Exercice 3

Soit V ⊂ 𝔸_{k}^{n} un ensemble algébrique non-vide. A tout polynôme f ∈ k[X_{1}, ⋯, X_{n}] on associe l’ouvert

V_{f}:={v ∈ V; f(v) ≠ 0} ⊂ V

que l’on appelle l’ouvert principal défini par f.

1. Montrer que tout ouvert de V peut s’écrire comme une union finie d’ouverts principaux.

2. Montrer que tout ouvert principal V_{f} est isomorphe à un ensemble algébrique Ṽ_{f} de 𝔸_{k}^{n+1}.

3. Déterminer 𝕀(Ṽ_{f}) et A[Ṽ_{f}].

Exercice 4

1. Le polynôme f(x) = x^{2} − 4x + 4 appartient-il à l’idéal I = (x^{3} − 6x^{2} + 12x − 8, 2x^{3} − 10x^{2} + 16x − 8) ⊂ ℝ[x] ?

2. Soient f_{1} = xy + 1, f_{2} = y^{2} − 1 ∈ k[x, y]. Appliquer l’algorithme de division à f = xy^{2} − x pour obtenir deux décompositions différentes f = h_{1}f_{1} + h_{2}f_{2} + r.

3. Trouver une décomposition de la forme

z^{2} − x^{4}y = h_{1}.(y − x^{2}) + h_{2}.(z − x^{3}).

Exercice 5

Supposons |k| = ∞. Considérons 𝔸_{k}^{n} = k^{n} comme un k-espace vectoriel et soit V ⊂ 𝔸_{k}^{n} un sous-espace vectoriel.

1. Montrer que V = 𝕍({f_{1}, ⋯, f_{n})} où chaque f_{i} est un polynôme de la forme f_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}X_{j} avec a_{ij} ∈ k. Montrer que V est irréductible.

2. Montrer que l’on peut supposer que les f_{i} sont de la forme suivante. On a m ≤ n et il existe des indices 1 ≤ j_{1} ≤ ⋯ ≤ j_{m} ≤ n tels que f_{i} = X_{j_{i}} + h_{i} où h_{i} est un polynôme homogène linéaire en les variables (X_{j}; j > j_{i} et j ∉ {j_{1}, ⋯, j_{m}}).

3. Déterminer 𝕀(V) et A[V].

Exercice 6

Soit I ⊂ k[X_{1}, ⋯, X_{n}] et considérons un ordre lexicographique tel que X_{n} ⪯ X_{n−1} ⪯ ⋯ ⪯ X_{1}. Soit G une base de Groebner de I. Montrer que pour tout 1 ≤ i ≤ n on a

I ∩ k[X_{i}, X_{i+1}, ⋯, X_{n}] = (G ∩ k[X_{i}, X_{i+1}, ⋯, X_{n}]).

Exercice 7 le parapluie de Whitney

Soit ϕ : 𝔸_{k}^{2} → 𝔸_{k}^{3} définie par ϕ(u, v) = (uv, v, u^{2}). On pose W_{ϕ} = \overline{ϕ(𝔸_{k}^{2})} ⊂ 𝔸_{k}^{3}. On note

Ĩ = (X − UV, Y − V, Z − U^{2}) ⊂ k[U, V, X, Y, Z].

Calculer une base de Groebner de Ĩ par rapport à l’ordre lex Z ⪯ Y ⪯ X ⪯ V ⪯ U. Montrer que I:=Ĩ ∩ k[X, Y, Z] = (X^{2} − Y^{2}Z). Montrer que si k = ℂ, ϕ(𝔸_{k}^{2}) = W_{ϕ} mais que si k = ℝ, ϕ(𝔸_{k}^{2}) ⫋ W_{ϕ} (dans ce cas quels sont les “points manquants” ?).