Géométrie Algébrique feuille de travaux dirigés n^{∘} 1

k est un corps de cardinal infini.

Exercice 1

Considérons X ⊂ 𝔸_{k}^{2} défini par les équations x^{2} + y^{2} = 1 et x = 1. Déterminer l’idéal 𝕀(X).

Exercice 2

Donner un exemple d’idéal I tel que l’ensemble algébrique 𝕍(I) ⊂ 𝔸_{k}^{3} soit l’union d’une droite et d’un plan vectoriel.

Exercice 3

On suppose k algébriquement clos. Déterminer les idéaux des ensembles algébriques suivants :

𝕍(XY^{3} + X^{3}Y − X^{2} + Y), 𝕍(X^{2}Y, (X − 1)(Y + 1)^{2}), 𝕍(Z − XY, Y^{2} + XZ − X^{2}).

Exercice 4

Soit Y l’ensemble algébrique dans 𝔸_{k}^{3} défini par les deux polynômes x^{2} − yz et xz − x. Montrer que Y est l’union de trois composantes irréductibles. Les décrire et trouver les idéaux associés, ainsi que l’idéal de Y.

Exercice 5

On identifie l’ensemble des matrices n×n à coefficients dans k avec 𝔸_{k}^{n^{2}}. Le groupe SL(n, k) est-il un ensemble algébrique ? Même question pour le groupe SO(n, k) associé à la forme quadratique x_{1}^{2} + ⋯ x_{n}^{2}, et pour le groupe GL(n, k).

Exercice 6

Considérons l’anneau de polynômes R = k[X_{1}, ⋯, X_{n}, Y_{1}, ⋯, Y_{m}], où k est un corps infini. Soient g_{1}, ⋯, g_{n} ∈ k[Y_{1}, ⋯, Y_{m}] ⊂ R et considérons l’idéal I = (X_{1} − g_{1}, ⋯, X_{n} − g_{n}) ⊂ R. Montrer que R/I ≃ k[Y_{1}, ⋯, Y_{m}] et que 𝕀(𝕍(I)) = I.

Exercice 7 la cubique gauche

Considérons l’ensemble

C = {(x, x^{2}, x^{3}); x ∈ k} ⊂ 𝔸_{k}^{3}.

Montrer que C est un ensemble algébrique et déterminer l’idéal 𝕀(C).

Exercice 8

Montrer que la topologie de Zariski sur 𝔸_{k}^{2} n’est pas égale à la topologie produit sur 𝔸_{k}^{1} × 𝔸_{k}^{1}. Montrer que pour la topologie de Zariski sur 𝔸_{k}^{n} deux ouverts (non vide) ont toujours une intersection non vide.

Exercice 9

Donner un exemple de polynôme irréductible f ∈ ℝ[x, y] dont l’ensemble des zéros dans 𝔸_{ℝ}^{2} ne soit pas connexe (pour la topologie usuelle de ℝ^{2}). Peut-on trouver un tel exemple qui soit de plus compact ? Qu’en est-il de ces deux questions sur le corps des complexes ?

Exercice 10

1. Soient f, g ∈ k[X, Y] des polynômes non-constants sans facteur irréductible commun. Montrer que 𝕍(f, g) est un ensemble fini.

2. Soit V ⊂ 𝔸_{k}^{2} un ensemble algébrique irréductible (différent de 𝔸_{k}^{2}). Montrer que V est ou bien un singleton ou bien de la forme 𝕍(f) où f ∈ k[X, Y] est irréductible.

Exercice 11

Déduire du Nullstellensatz que tout idéal maximal 𝔪 de l’anneau k[x_{1}, ⋯, x_{n}] est de la forme (x_{1} − a_{1}, ⋯, x_{n} − a_{n}) pour certains a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ k.

Exercice 12 le plan projectif

Rappelons que ℙ_{k}^{2} = k^{3}\{0}/ ∼ où ∼ est la relation de colinéarité sur k^{3}. On note [x : y : z] ∈ ℙ_{k}^{2} la classe d’équivalence du point (x, y, z) ∈ k^{3}.

1. Montrer que l’ensemble

{[x : y : z] ∈ ℙ_{k}^{2}; z ≠ 0}

s’identifie à 𝔸_{k}^{2}.

2. Montrer qu’il existe une bijection naturelle entre les polynômes en x, y et les polynômes homogènes en x, y, z (exceptées les puissances de z).

3. Considérons les droites affines d’équation x = y et x = y+a (a ∈ k^{∗}). Donner les équations des droites projectives correspondantes et déterminer leur intersection.