Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 9

Exercice 1

1. Montrer que si f : U \ a → ℂ est holomorphe et admet une singularité essentielle en a, alors f n’est pas injective sur U.

2. Quels sont les biholomorphismes de ℂ ? (i.e. les applications holomorphes inversibles de ℂ dans ℂ) [Indication : considérer la fonction z → f(1/z).]

3. ℂ et D(0, 1) sont-ils homéomorphes ? Sont-ils conformément équivalents ?

Exercice 2

Pour tous 0 < r < R < 0 on note C(r, R) la couronne {z ∈ ℂ; r < |z| < R}. On se propose de montrer que si f : C(r_{1}, R_{1}) → C(r_{2}, R_{2}) est une équivalence conforme alors R_{1}/r_{1} = R_{2}/r_{2}.

1. Montrer que l’on peut sans perte de généralité supposer que

R_{1} = R_{2} = 1
lim_{|z|→1} |f(z)| = 1
lim_{|z|→r_{1}} |f(z)| = r_{2}

2. On pose α = \frac{log r_{2}}{log r_{1}} et u(z) = log |f(z)| − α log |z| (pour tout z ∈ C(r_{1}, 1)). Montrer que u est harmonique, en déduire que u est identiquement nulle.

3. Soit D un disque inclu dans C(r_{1}, 1); montrer qu’il existe une fonction holomorphe g : D → ℂ telle que f = exp(g) et telle que |\frac{1}{z} exp(\frac{g(z)}{α})| = 1.

4. Montrer que

\frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{α}{z}.

5. En intégrant sur un cercle adéquat, montrer que α = 1 et conclure.

Exercice 3

Soient P = {z ∈ ℂ; ℑ𝔪z > 0} et U = P \ i[1, +∞[. Le but de l’exercice est de construire une représentation conforme de U sur P.

1. Montrer que l’on peut définir, à l’aide du logarithme principal, une fonction holomorphe dans U : z → \sqrt{1 + z^{2}}.

2. On pose, pour tout z ∈ U, f(z) = \frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}} . Montrer que f(U) ∩ ℝ = ∅. En déduire que f(U) ⊂ P.

3. Montrer que l’on peut définir, à l’aide du logarithme principal, une fonction holomorphe dans P : w → \sqrt{1 − w^{2}}.

4. On pose, pour tout w ∈ P, g(w) = \frac{w}{\sqrt{1−w^{2}}} . Montrer que g(P) ⊂ U (on pourra d’abord montrer que g(P) ⊂ P).

5. Montrer que f est une représentation conforme de U sur P.

Exercice 4

Soit f : U → ℂ ne s’annullant pas dans U. Montrer de deux façons différentes que log |f| est harmonique sur U.

Exercice 5

Soient u et v deux fonctions réelles harmoniques sur un domaine U. A quelles conditions u.v est-elle harmonique ? Montrer que u^{2} est harmonique ssi u est constante. Pour quelles f : U → ℂ holomorphes a-t-on |f|^{2} harmonique ?

Exercice 6

Montrer qu’il n’existe pas de fonctions f et g holomorphes non constantes sur le disque unité telles que ℜ𝔢(f) = |g|. (Indication : calculer les laplaciens de ces deux fonctions.)

Exercice 7

Soit f une fonction holomorphe dans le demi-plan supérieur ℍ et continue sur \overline{ℍ}. On suppose que f(ℍ) ⊂ ℍ et f(ℝ) ⊂ ℝ.

1. Montrer que f s’étend en une fonction entière.

2. Montrer que f est strictement croissante sur ℝ.

3. Soit g(z) = \frac{f(z)}{z − x_{0}} où x_{0} est le seul zéro réel de f (justifier), montrer que g est constante. En

déduire que f est linéaire.

4. Soit ϕ une fonction harmonique positive dans ℍ nulle sur l’axe réel. Montrer que ϕ(x+iy) = αy, α réel positif.

Exercice 8

1. Déterminer tous les polynômes harmoniques réels homogènes de degré 3 sur ℝ^{2}.

2. Pour un tel polynôme P déterminer toutes les fonctions holomorphes u dont P est la partie réelle.