Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 8

Exercice 1 Montrer que le produit suivant converge normalement sur tout sous-compact de 𝔻 et satisfait

∏_{n≥0}(1 + z^{2^{n}}) = \frac{1}{1 − z} .

Exercice 2 Fonction ϑ Soit τ ∈ ℂ avec ℑ(τ) > 0 et soit q = e^{πıτ}.

1. Montrer que la série suivante définit une fonction entière

ϑ(z) = ∑_{n∈ℤ}(−1)^{n}q^{n^{2}}e^{2πınz}.

2. Montrer que

ϑ(z + 1) = ϑ(z), ϑ(z + τ) = −q^{−1}e^{−2πız}ϑ(z).

3. Montrer que les nombres m + (n + \frac{1}{2})τ, m, n ∈ ℤ sont les seuls zéros de ϑ et que leur multiplicité est 1. (Pour ceci, on montre que ϑ n’est pas identiquement nulle, par exemple car

∫_{0}^{1} |ϑ(x)|^{2}dx = 1 + 2 ∑_{n≥1} |q|^{n^{2}},

puis on évalue l’intégrale de \frac{ϑ′}{ϑ} le long du bord d’un parallélogramme fondamental d’un réseau bien choisi et on applique le théorème de Rouché.)

4. Montrer que le produit infini suivant définit une fonction entière

f(z) = ∏_{n≥1} ((1 − q^{2n−1}e^{2πız}) (1 − q^{2n−1}e^{−2πız})) .

Quels sont les zéros de f?

5. Montrer que \frac{f}{ϑ} est elliptique et entière. En déduire que f(z) = c ϑ(z), c ∈ ℂ.

Exercice 3 Plus sur les produits canoniques Soit {d_{ν}}_{ν} ⊂ ℂ une suite qui correspond à un diviseur positif δ de ℂ. Montrer

1. Si

f(z) = ∏_{ν} (1 − \frac{z}{d_{ν}} ) e^{p_{ν}(z)}

converge normalement sur tout compact de ℂ où p_{ν} sont des polynômes de degré ≤ k, alors

∑_{ν} |\frac{1}{d_{ν}} |^{k+1} < ∞.

2. z^{δ(0)} ∏_{ν} E_{k}(\frac{z}{d_{ν}}) est le produit canonique pour δ si et seulement si

∑_{ν} |\frac{1}{d_{ν}} |^{k} = ∞ et ∑_{ν} |\frac{1}{d_{ν}} |^{k+1} < ∞

3. Construire un diviseur qui n’admet pas de produit canonique.