Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 7

Exercice 1

Factoriser la fonction \frac{1}{Γ(z)}. Exercice 2 Formule de multiplication de la fonction Γ Montrer que pour tous k = 2, 3, ⋯ on a

Γ(z)Γ(z + \frac{1}{k})Γ(z + \frac{1}{k}) ⋯ Γ(z + \frac{k − 1}{k}) = (2π)^{\frac{1}{2} (k−1)}k^{\frac{1}{2} −kz}Γ(kz),

(on admettra que la formule est vraie pour z = 1). Exercice 3 Construire des fonctions entières admettant pour diviseur

1. δ(z) = \{ \begin{matrix}2 & si z ∈ ℤ \\ 0 & si z ∉ ℤ \end{matrix}

2. δ(z) = \{ \begin{matrix}1 & si z ∈ ℤ + iℤ \\ 0 & si z ∉ ℤ + iℤ \end{matrix}

Existe-t-il de telles fonctions qui soient ℤ-périodique dans le premier cas, et ℤ + iℤ-périodique (elliptique) dans le deuxième cas ? Exercice 4 Produits canoniques On dit qu’un produit de Weierstrass z^{m} ∏_{ν≥1} E_{k_{ν}}(\frac{z}{d_{v}}), pour une suite \{d_{v}\}_{v≥1} correspondant à un diviseur positif, est canonique si k_{ν} ne dépend pas de ν et est minimal.

1. Déterminer le produit canonique pour les diviseurs de l’exercice précédent.

2. Quelle est la valeur de k_{ν} pour le produit canonique d’un diviseur positif borné qui est supporté sur un réseau Γ dans ℂ?

3. Notons σ le produit canonique pour le diviseur δ(z) = \{ \begin{matrix}1 & si z ∈ Γ \\ 0 & si z ∉ Γ \end{matrix} . Montrer que (\frac{σ′}{σ} )′ = −p ou p est la fonction p de Weierstrass.

Exercice 5 On définit le diviseur (f) d’une fonction f, qui est méromorphe sur ℂ (f ≠ 0) comme suit :

(f)(z) = \{ \begin{matrix}multipl. du zéro & si f(z) = 0 \\ − ordre du pôle & si f a un pôle en z \\ 0 & si f(z) ∈ ℂ^{∗} \end{matrix}

Montrer que tout diviseur est principal (i.e égal à (f) pour un certain f). Exercice 6 Formule de produit d’Euler On note P = {2, 3, 5, 7, 11, ⋯} l’ensemble des nombres premiers. Montrer que pour tout z ∈ {z ∈ ℂ; ℜ𝔢z > 1} on a

\frac{1}{ζ(z)} = ∏_{p∈P} (1 − \frac{1}{p^{z}} ) .