Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 6

Exercice 1

Soit f une fonction elliptique pour un réseau Γ ⊂ ℂ. Soit γ : I → ℂ un chemin qui satisfait γ(1) − γ(0) ∈ Γ. Supposons que f n’a pas de zéros ni de pôles sur γ(I).

1. Montrer que exp ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = 1.

2. En déduire que \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)}dz ∈ ℤ.

Exercice 2 valence des fonctions elliptiques

Soit f une fonction elliptique pour un réseau Γ = ℤw_{1} + ℤw_{2} ⊂ ℂ. On appelle le nombre de zéros (comptés avec multiplicité) de f dans un parallélogramme fondamental P_{α} = {z ∈ ℂ; z = α + t_{1}w_{1} + t_{2}w_{2} avec t_{1}, t_{2} ∈ [0, 1[}, tel que son bord ne contient pas de zéros ni de pôles de f, la valence de f.

1. Montrer que la valence ne dépend pas du choix du parallélogramme.

2. Montrer qu’une fonction elliptique non constante est de valence supérieure ou égale à 2.

3. Montrer que f atteint toute valeur non-critique autant de fois que sa valence. (c et une valeur non-critique si pour tout a ∈ f^{−1}(c) on a f′(a) ≠ 0.)

Exercice 3 La fonction p de Weierstrass

Rappellons que la fonction p de Weierstrass est la somme

p(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{w∈Γ^{∗}}(\frac{1}{(z − w)^{2}} − \frac{1}{w^{2}} ).

1. Déterminer une primitive ξ de p, i.e. une fonction ξ tel que ξ′ = p.

2. Soit w ∈ Γ, alors ξ(z − w) − ξ(z) ne dépend pas de z, mais ξ(z) n’est pas elliptique (pourquoi?). Montrer que ξ(z − w) − ξ(z) = ξ(\frac{1}{2}w).

3. Soit f une fonction elliptique pour Γ n’admettant que des pôles simples {a_{1}, ⋯, a_{k}}. Montrer qu’il existe des nombres A_{1}, ⋯, A_{k} ∈ ℂ et C ∈ ℂ tel que

f(z) = C + ∑_{i=1}^{k} A_{i} ξ(z − a_{i}).

4. Soit f une fonction elliptique pour Γ qui n’a que des pôles d’ordre m > 1, que l’on note toujours {a_{1}, ⋯, a_{k}}. Montrer qu’il existe des nombres A_{1}, ⋯, A_{k} ∈ ℂ et C ∈ ℂ tel que

f(z) = C + ∑_{i=1}^{k} A_{i} p^{(m−2)}(z − a_{i}).

5. Comment peut-on exprimer une fonction elliptique pour Γ à l’aide des dérivés de ξ et des coefficients complexes en général?

Exercice 4 La fonction ζ

1. On note U = {z ∈ ℂ; ℜ𝔢z > 1}. Montrer qu’en posant, pour tout z ∈ U,

ζ(z) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{z}}

on définit une fonction holomorphe dans U.

2. Montrer que pour tout z ∈ U on a

Γ(z)ζ(z) = ∫_{0}^{+∞} \frac{t^{z−1}}{e^{t} − 1}dt.

3. Montrer qu’en posant f(z) = ∫_{1}^{+∞} \frac{t^{z−1}}{e^{t}−1}dt on définit une fonction entière.

4. On pose, pour tout z ∈ U, g(z) = ∫_{0}^{1} \frac{t^{z−1}}{e^{t}−1}dt.

(a) Montrer qu’il existe des nombres complexes a_{2n} tels que pour tout u ∈ D(0, 2π)

\frac{u}{e^{u} − 1} = 1 − \frac{u}{2} + ∑_{n=1}^{+∞} a_{2n}u^{2n}.

(b) Montrer que pour tout z ∈ U

g(z) = \frac{1}{z − 1} − \frac{1}{2z} + ∑_{n=1}^{+∞} \frac{a_{2n}}{z + 2n − 1}

(c) Montrer que la série ci-dessus permet d’étendre g en une fonction méromorphe sur ℂ. Quels sont ses pôles ?

5. On rappelle que la fonction 1/Γ et entière et admet pour zéros les entiers ≤ 0 (chacun de multiplicité 1).

(a) Montrer (à l’aide des questions précédentes !) que l’on peut prolonger la fonction ζ en une fonction méromorphe dans ℂ ayant pour unique pôle le point 1.

(b) Montrer que ce pôle est simple. Que vaut Res(ζ, 1) ? Quelle est la valeur de ζ(−2m) pour m ∈ ℕ^{∗} ?