Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 5

Exercice 1 Calculer les deux intégrales suivantes :

a) ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x^{2}}{1 + x^{4}} dx b) ∫_{0}^{2π} \frac{dθ}{1 − 2a cos θ + a^{2}} (|a| ≠ 1).

Exercice 2 Soit P : ℂ → ℂ un polynôme de degré strictement supérieur à 1. On veut montrer qu’il existe au moins un point x ∈ ℂ tel que P (x) = x et P′(x) = 1 ou |P′(x)| > 1. On note E l’ensemble des points fixes par P et on suppose que ∀x ∈ E, P′(x) ≠ 1. Montrer que pour R > 0 suffisamment grand,

∑_{x∈E} \frac{1}{P′(x) − 1} = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=R} \frac{dz}{P (z) − z}

et conclure. Exercice 3 Intégrales de Fresnel

1. Montrer que les intégrales impropres suivantes convergent :

I = ∫_{0}^{+∞} cos(x^{2}) dx et J = ∫_{0}^{+∞} sin(x^{2}) dx

2. En intégrant la fonction f(z) = exp(−z^{2}) sur un contour adéquat, calculer les valeurs de I et J.

(on rappelle que ∫_{0}^{+∞} e^{−x^{2}} dx = \frac{\sqrt{π}}{2} ) Exercice 4 Déterminer le nombre de racines des polynômes suivants dans les domaines indiqués :

• P_{1}(z) = z^{7} − 2z^{5} + 6z^{3} − z + 1 dans D(0, 1),

• P_{2}(z) = z^{4} − 6z + 3 dans la couronne {1 < |z| < 2}. Exercice 5 Soit U un ouvert de ℂ contenant le disque unité fermé D, et f : U → ℂ holomorphe.

1. Si f(0) = 1 et |f(z)| > 1 pour |z| = 1, montrer que f admet un zéro dans D.

2. Si |f(z)| < 1 pour |z| = 1, montrer que f a un unique point fixe dans D.

Exercice 6 Classifier les singularités isolées de chacune des fonctions suivantes et dans le cas des pôles indiquer l’ordre :

1. \frac{z^{4}}{(z^{4}+16)^{2}} ;

2. \frac{1−cos z}{sin z};

3. \frac{1}{cos(1/z)}.

Exercice 7 Montrer que toute singularité non artificielle c de f ∈ H(U \c) est une singularité essentielle de exp ∘f. Exercice 8 une fonction entière bornée dans toutes les directions

1. Montrer qu’en posant

f(z) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{zt}}{t^{t}} dt

on définit une fonction entière f.

2. Soit z = x + iy avec y > π/2; on note c = y − π/2. Montrer que l’on peut remplacer l’intégrale

∫_{ϵ}^{R} \frac{e^{zt}}{t^{t}} dt

le long de l’axe réel par l’intégrale le long du quart de cercle de ϵ à iϵ plus l’intégrale le long de l’axe imaginaire de iϵ à iR moins l’intégrale sur le quart de cercle de R à iR.

3. Montrer que ∫_{ϵ}^{R} \frac{e^{zt}}{t^{t}} dt ≤ \frac{1}{c}. En déduire que f est bornée sur \{z ∈ ℂ; |ℑ𝔪z| > π/2\}.

4. Montrer que la fonction g(z) = f(z + iπ) est bornée sur toute droite passant par l’origine.