Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 4

Exercice 1 1. Existe-t-il des fonctions f ∈ H(ℂ) non nulles telles que f(1/n) = 0 pour tout n ∈ ℕ^{∗} ?

2. Soit U = {z ∈ ℂ; ℜ𝔢z > 0}. Existe-t-il des fonctions f ∈ H(U) non nulles telles que f(1/n) = 0 pour tout n ∈ ℕ^{∗} ?

3. Existe-t-il des fonctions holomorphes d’un ouvert connexe U ⊂ ℂ contenant D̄(0, 1) dans ℂ telles que :

(a) f(1/n) = f(−1/n) = 1/n^{2} pour tout n ∈ ℕ^{∗} ?

(b) f(1/n) = f(−1/n) = −1/n^{3} pour tout n ∈ ℕ^{∗} ?

Si oui, les déterminer toutes.

Exercice 2 Pour chacune des quatre propriétés suivantes on demande ou bien de trouver une fonction holomorphe dans un voisinage de l’origine satisfaisant cette propriété ou bien de montrer qu’une telle fonction n’existe pas :

1. f(1/n) = (−1)^{n}1/n pour presque tout n ∈ ℕ^{∗}.

2. f(1/n) = (n^{2} − 1)^{−1} pour presque tout n ∈ ℕ \ {0, 1}.

3. |f^{(n)}(0)| ≥ (n!)^{2} pour presque tout n ∈ ℕ.

4. f ≢ 0 et |f(1/n)| ≤ e^{−n} pour presque tout n ∈ ℕ^{∗}.

Exercice 3

1. Trouver toutes les fonctions entières telles que f(x) = e^{x} pour x ∈ ℝ.

2. Etablir les formules (pour a, b ∈ ℂ)

e^{a+b} = e^{a}e^{b}
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

3. Soient a, b ∈ ℂ. Est-il vrai que (e^{a})^{b} = e^{ab} ?

Exercice 4

1. Soit U un ouvert borné, et f une fonction holomorphe non-constante sur U, continue sur Ū. Montrer que ou bien f admet un zéro dans U, ou bien |f| atteint sa valeur minimum sur ∂U.

2. Soit P un polynôme non constant, montrer que chaque composante de {z; |P (z)| < c} contient un zéro de P.

Exercice 5 Le principe de réflexion de Schwarz

Montrer, à l’aide du théorème de Morera, la version suivante du principe de réflexion de Schwarz :

Soient I ⊂ ℝ un segment, et U^{+} un ouvert contenu dans le demi-plan {z ∈ ℂ; ℑ𝔪z > 0} tel que pour tout t ∈ I, il existe un demi-disque centré en t contenu dans U^{+} ∪ I. Soit U^{−} l’image de U^{+} par réflexion par rapport à la droite réelle. Si f : U^{+} → ℂ est holomorphe, et se prolonge par continuité en une application f : I → ℝ, alors il existe une unique fonction holomorphe g sur U^{+} ∪ I ∪ U^{−} qui satisfait :

∀z ∈ U^{−}, g(z) = \overline{f(z̄)}.

Exercice 6

Soit f holomorphe non constante sur le disque D(0, R). Pour tout 0 ≤ r < R on définit A(r) = max{ℜ𝔢f(z); |z| = r. Montrer que A(r) est une fonction strictement croissante de r.

Exercice 7

1. Existe-t-il une fonction holomorphe f : D(0, 1) → D(0, 1) avec f(1/2) = 3/4 et f′(1/2) = 2/3 ?

2. Existe-t-il une fonction holomorphe f : D(0, 1) → D(0, 1) avec f(0) = 1/2 et f′(0) = 3/4 ? Si oui, est-elle unique ?