Analyse Complexe feuille de travaux dirigés n^{∘} 3

Exercice 1

Soient f, g : ℂ → ℂ deux fonctions entières telles qu’il existe une constante K > 0 pour laquelle |f(z)| ≤ K|g(z)| pour tout z. Montrez alors qu’il existe λ ∈ ℂ tel que f = λg.

Exercice 2 Ensembles de Julia et de Mandelbrot

Pour c ∈ ℂ, on note f_{c} le polynôme f_{c}(z) = z^{2} + c. Soit K_{c} l’ensemble des z ∈ ℂ tels que |f_{c}^{∘n}| ne tend pas vers l’infini : on appelle cet ensemble l’ensemble de Julia rempli de f_{c}.

1. (a) Déterminer K_{0}.

(b) Montrer que K_{c} coincide avec l’ensemble :

{z ∈ ℂ | ∀n ≥ 0 , |f_{c}^{∘n}(z)| ≤ 1 + |c|}.

En déduire que K_{c} est compact.

2. Montrer que le complémentaire de K_{c} est connexe (i.e K_{c} est plein).

3. Soit M = {c ∈ ℂ | 0 ∈ K_{c}} l’ensemble de Mandelbrot.

(a) Montrer qu’il existe une suite de polynômes P_{n} telle que :

M = {c ∈ ℂ | P_{n}(c) ne tend pas vers l′infini}

= {c ∈ ℂ | ∀n ≥ 0 , |P_{n}(c)| ≤ 1 + |c|}.

(b) Montrer que M ⊂ D̄(0, 2) et que M est un compact plein.

Exercice 3 théorème de linéarisation de Koenigs

Soit f une fonction holomorphe définie sur un voisinage de 0 telle que f(0) = 0 et f′(0) = λ avec 0 < |λ| < 1. Montrer qu’il existe une fonction holomorphe φ au voisinage de 0 telle que φ(0) = 0, φ′(0) = 1 et

φ(f(z)) = λφ(z),

(on dit que que f est localement conjuguée à sa partie linéaire par φ).

Indication : Montrer qu’il existe un réel 0 < c < 1 tel que c^{2} < λ < c et un disque D(0, r) sur lequel on ait |f(z)| < c|z|; puis considérer la suite φ_{n} = f^{∘n}/λ^{n}.

Exercice 4 On note S l’ensemble des fonctions holomorphes injectives de D dans ℂ telles que f(0) = 0 et f′(0) = 1.

1. On note K(z) = \frac{z}{(1−z)^{2}} , montrer que K ∈ S, donner son développement en série entière et déterminer son image.

2. Si f ∈ S et si a n’appartient pas à l’image de f, montrer que \frac{af}{a−f} ∈ S.

3. Si f ∈ S montrer qu’il existe g ∈ S telle que g(z)^{2} = f(z^{2}).

4. On note Δ = {z ∈ ℂ; |z| > 1} et

Σ = {f ∈ O(Δ); f injective dans Δ, et f(z) = z + b_{0} + b_{1}z^{−1} + ⋯}.

(a) Soit γ une courbe de Jordan C^{1}, montrer que l’aire de la composante bornée de ℂ\γ est

égale à :

\frac{1}{2i} ∫_{γ} z̄dz.

(b) Si f est dans Σ montrer que :

∑_{n=1}^{+∞} n|b_{n}|^{2} ≤ 1.

(Théorème de l’aire, Gronwall 1914)

Quelles sont les fonctions vérifiant |b_{1}| = 1? Décrire leur image.

5. Si f ∈ S montrer que le coefficient a_{2} de son développement satisfait |a_{2}| ≤ 2 avec égalité si et seulement si f(z) = e^{iθ}K(e^{−iθ}z). (Bieberbach, 1916)

6. Montrer que si f ∈ S alors l’image de f contient le disque ouvert {|z| < 1/4}, caractériser le cas minimal. (Bieberbach, 1916)

Exercice 5 automorphismes du demi-plan et du disque Montrer qu’il existe un biholomorphisme du disque unité ouvert sur le demi-plan ℍ = {z ∈ ℂ; ℑ𝔪(z) > 0}. En déduire que les automorphismes de ℍ sont de la forme :

T_{A} : z ∈ ℍ ↦ \frac{az + b}{cz + d} avec A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL(2, ℝ).

Trouver des exemples d’automorphismes du disque unité avec les propriétés suivantes : 1. pas de point fixe dans le disque ouvert et un point fixe sur le cercle.

2. pas de point fixe dans le disque ouvert et deux points fixes sur le cercle.

3. un seul point fixe dans le disque ouvert et pas de point fixe sur le cercle.